我的直觉一直是，当将任何球体投影到2D空间中时，结果在数学上始终将是椭圆（在退化情况下为圆）。

过去，当我积极地进行自己的图形编程并与其他人一起提出来时，他们坚称我错了。如果我没记错的话，他们认为结果可能有些模糊“蛋形”。

谁是正确的？

既然已经提交了一个答案，我不想完全改变我的问题，但是我意识到由于多年来对这一领域的熟悉程度，我遗漏了重要的细节。

我打算专门询问透视投影，其中投影是线性应用程序。

当然，其他投影对于许多用途也很有趣，因此我现在不希望将其删除。但是，如果答案中最突出的部分是透视投影，那就太好了。

假设透视投影和球体外部的视点，则视点与球体上形成视点WRT的地平线上的圆所形成的“边界”将为圆锥体。

然后（在平面上）进行透视投影等效于将该圆锥与平面相交，从而产生圆锥形截面。仅供参考，这张来自维基百科的图片显示了四个未退化的案例

因此，椭圆/圆是可能的，但不是唯一的-无边界的抛物线或双曲线（而且我猜想飞机是否穿过眼睛，甚至退化的情况）也是可能的。

这更像是对@SimonF的回答的很长的评论，我正在尝试使自己变得有些独立。

所有的圆锥形切割都是可能的，双曲线，抛物线和椭圆形。通过使用超广角摄像头在3D引擎中绘制图像，可以轻松进行测试。旋转相机说出30度角，使物体不在焦点中间。然后逐渐将相机移近球体。

图片1非常靠近球体，略微侧向飞行。请注意，我们是如何突然穿刺内部的曲面形式的。

因此，要回顾一下球体非常靠近时以宽图像退出图片的状态，它可以是抛物线或双曲线。但是形状只会退出框架而已。

投影系统用于将3D形状转换为平面（2D）形状。

根据投影系统的类型，可以在一个球体之外产生不同的结果和形状，例如矩形，饼形，椭圆形，圆形等。

可以根据投影系统生成结果的特征对其进行分类。

为了继续，我想使用一个我们之前都曾经看到过的非常感人和普遍的例子，地球球体和全球范围内的地图无处不在。

假设您的领域是地球！

想象地球是您的球体，以及由地球的球形形状创建的平面世界地图。在大多数世界地图中，您都可以看到极地附近的国家比实际国家要大得多，例如冰岛（实际上是非洲大陆的1/14），但地图显示这两个国家是平等的。这是因为当我们省略一维时，会失去形状的一个特征。

不同的投影系统及其结果

这是一个平面投影，不保留距离，角度或面积。红色圆圈表示此投影的乘积。

平均面积，在此看冰岛和非洲，并与上面进行比较。

投影系统可以根据其保存内容进行分类。

1. 面积相等。
2. 等角度可以保持形状而不会变形（共形）。
3. 等距离。
4. ......

保形投影可以保留形状，但不会保留区域（上图的第一幅），这是在许多应用中使用的最著名的投影系统。您的球体在这里是矩形！

因此，您不能说一个球体总是会投影到一个椭圆上。如上所述，球体可以投影为矩形（第一个形状），也可以是椭圆形，但具有不同的特征（相等的角度，距离，形状，面积-参见下图），或者也可以将球体投影为圆锥形然后打开圆锥形，这样你就会有一个馅饼。

上面的每个投影系统都可以应用可以在互联网上找到的迭代或直接算法。我没有谈论公式和转换，因为您没有问。虽然我希望您发现此答案有用。

在透视投影中，我说是的，只有椭圆会在球体之外产生

用水平面切割圆锥会创建一个圆。

用斜面切割会产生一个斜面，该斜面取决于切割角度，可能是椭圆形或双曲线，并且当该角度倾斜为垂直时，会形成抛物线（下图）。

也许这很明显，但请看一下它们的方程式。

为简单起见，我假定所有几何形状都以原点为中心。

方程式：

$x^2+y^2=r^2$

$x^2/a^2+y^2/b^2=1$

双曲线： $x^2/a^2-y^2/b^2=1$

抛物线： $y^2=4ax$

形态：

椭圆显然有两个焦点。圆作为特殊的省略号也有两个焦点，但它们是重合的。但是，双曲线是其等效省略号的ay轴镜，它也有两个焦点。抛物线有一个焦点，但实际上有两个焦点，因为第二个焦点处于无穷大：当切割平面倾斜到90度（轴承角）时，第二个焦点变为无穷大。

结论

如您所见，所有椭圆都是椭圆，但是您可以用不同的名称命名来描述特殊情况，但是如果您要在游戏中实现椭圆，则需要假设椭圆方程就足够了。我或您或您的朋友都无法分辨你们中哪个人是对的，因为两者都可能是对的。

SimonF的推理基本上说服了我，但我决定进行健全性检查。我加载了一个UE4级别，碰巧有一些球体，像这样：

我将相机的FOV设置为160度，以提供很多透视失真，并对其​​进行了定位，以使球体位于图像的角附近：

然后，将其带入Inkscape并使用椭圆工具在其上进行绘制：

惊喜！非常适合！

切片一个球时，没有形成抛物线或双曲线。除了特殊情况下为圆以外，也没有省略号，结果始终为圆。如果将球体投影到倾斜的平面上，则会得到一个椭圆