相关样本如何影响Monte Carlo渲染器的行为？

大多数有关蒙特卡洛渲染方法的描述（例如路径跟踪或双向路径跟踪）都假定样本是独立生成的；也就是说，使用标准随机数生成器来生成独立，均匀分布的数字流。

我们知道，在噪声方面，并非独立选择的样本可能会有所帮助。例如，分层采样和低差异序列是相关采样方案的两个示例，它们几乎总是可以改善渲染时间。

但是，在许多情况下，样本相关性的影响并不那么明确。例如，马尔可夫链蒙特卡罗方法（例如Metropolis Light Transport）使用马尔可夫链生成相关样本流。多光方法将一小束光路重用于许多相机路径，从而创建许多相关的阴影连接；甚至光子贴图也可以通过重用许多像素之间的光路来提高效率，同时还可以提高样本相关性（尽管有偏见）。

所有这些渲染方法在某些场景中都可以证明是有益的，但在其他场景中似乎会使情况变得更糟。除了用不同的渲染算法渲染场景并盯着一个外观是否比另一个外观好外，尚不清楚如何量化这些技术引入的错误质量。

所以问题是：样本相关性如何影响Monte Carlo估计量的方差和收敛性？我们能否以数学方式量化哪种样本相关性比其他样本更好？还有其他考虑因素可能会影响样本相关性是有益还是有害（例如，感知错误，动画闪烁）？

有一个重要的区别。

马尔可夫链蒙特卡罗方法（例如Metropolis Light Transport）方法充分认识到它们产生大量高度相关的事实，它实际上是算法的基础。

另一方面，还有双向路径跟踪，多光方法，光子映射等算法，其中关键的作用是多重重要性采样及其平衡启发式算法。仅对独立样本证明了平衡启发式算法的最佳性。许多现代算法已经关联了样本，对于某些样本而言，这会引起麻烦，而对于某些样本而言却不会。

相关样本的问题在双向路径跟踪的概率连接中得到了承认。他们改变了平衡启发法以考虑相关性。看一下本文中的图17可以看到结果。

我想指出，关联“总是”不好。如果您有能力制作全新的样品，那就比做。但是大多数时候您负担不起，因此希望相关性引起的误差很小。

编辑以解释“总是”：我的意思是在MC集成的情况下

用估计量方差测量误差的地方

如果样本是独立的，则协方差项为零。相关样本始终使该项为非零，从而增加了最终估计量的方差。

乍一看，这与我们在分层抽样中遇到的情况有些矛盾，因为分层降低了误差。但是您不能仅从概率的角度证明分层抽样会收敛到期望的结果，因为分层抽样的核心不涉及任何概率。

分层抽样的问题在于它基本上不是蒙特卡洛方法。分层采样来自用于数字积分的标准正交规则，该规则非常适合在低维中积分平滑函数。这就是为什么它被用于处理低尺寸问题的直接照明，但是其平滑度是有争议的。

因此，分层采样与例如“许多光”方法中的相关性相比，是另一种相关性。

半球强度函数，即入射光的半球函数乘以BRDF，与每个立体角所需的样本数相关。采取任何方法的样本分布，并将其与该半球函数进行比较。它们越相似，则在特定情况下该方法越好。

请注意，由于通常不知道此强度函数，因此所有这些方法都使用启发式方法。如果满足启发式的假设，则该分布比随机分布更好（=更接近所需函数）。如果没有，那就更糟了。

例如，重要性采样使用BRDF分布样本，这很简单，但仅使用强度函数的一部分。一个非常强的光源以较小的角度照亮一个漫射表面，尽管它的影响可能仍然很大，但将获得很少的样本。Metropolis Light Transport从以前的样本中以高强度生成新样本，这对于少数强光源很有用，但如果光线从各个方向均匀到达，则无济于事。