如果

比方说，$L \subseteq \{0\}^*$。那么我们如何证明$L^*$是正规的呢？

如果$L$是规则的，那么当然$L^*$也是规则的。如果$L$是有限的，则它是规则的，而$L^*$也是规则的。另外我注意到，对于$L = \{0^p \mid p \text{ is a prime}\}$，$L$是不是正规，$L \subseteq \{0\}^*$和$L^*$是有规律的。

但如何显示此为任何子集$L$的$\{0\}^*$？

假设$L$包含两个单词$w_1$和$w_2$，使得这些单词的长度$|w_1|$和$|w_2|$，没有共同点。然后，我们有一个不能通过连接这些单词构成的最长单词的长度为$(|w_1|-1)(|w_2|-1) - 1$（Frobenius数）。就是说，如果语言中的单词长度没有共同因素，那么所有最小长度的单词都使用语言$L^*$。很容易看到这是规则的，因为在必不可少的Myhill-Nerode可区分性关系下，有一定数量的等价类。

如果中所有单词的长度共享一个公因子怎么办？好吧，不难发现在这种情况下，L ∗也是规则的。只要注意，代替它的长度比一些最起码的长度是更大的所有单词大号*，这反而是真实的，所有的话，其长度是字长的GCD的倍数将在大号*，没有的话，其长度并非此GCD的倍数，并且（L k ）∗对于任何整数k都是正则的，因此L ∗也是正则的。$L$$L^*$$L^*$$L^*$$(L^k)^*$$k$$L^*$

这是非常非正式的，但是您需要正规化的所有内容都在这里。

$w$$L^*$$L$$\mathring{L}$$w$$\mathring{L}$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$$L^*$

让是一个子集，和一句话。可以表示为 iff中单词的串联。可以表示为的元素之和， 其中是中单词长度的集合。因此，问题简化为将整数表示为特定集合中的整数之和（允许重复）：can用和表示为？$M$$L$$w$$L$$w$$L$$|w|$$S \subset \mathbb{N}$$S$$M$$|w|$$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, s_i \in S$$k_1 \in \mathbb{N}$

这是算术中的一个众所周知的问题，答案是，如果系数可以为负（），是当且仅当表达它的元件的最大公约数的倍数：。在需要非负系数的情况下，对于足够大的仍然成立。。$(k_i)$$k_i \in \mathbb{Z}$$|w|$$S$$\gcd S$$|w|$

考虑由定义的无限序列。这是一个递减的整数序列（从，因此在某个索引之后它是常数；而根据中文余数定理，每个元素都可以是表示为其中和。如果和则可以选择所有非负系数。$(g_i)_{i\ge\min S}$$g_i = \gcd (S \cap [0,i])$$g_{\min S} = \min S$$j$$g_j = \gcd S$$S$$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, k_i \in \mathbb{Z}$$\{s_1, \ldots, s_m\} = S \cup [0,j]$$x \in S$$x \ge s_1 \cdot \ldots \cdot s_m$

足够的算术。令。每个单词都可以表示为中最大长度为的单词的串联，即。由于我们也有，因此我们有，这是规则的，因为是有限的，因此是规则的。$\mathring{L} = \{w \in L \mid |w| \le g_j\}$$L$$L$$g_j$$L \subseteq \mathring{L}^*$$\mathring{L} \subseteq L$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$

或者，在单字母字母中使用常规语言的特征。