二维峰发现复杂度（MIT OCW 6.006）

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给定一个具有列和行的矩阵，二维峰查找算法（其中一个峰是大于或等于其相邻邻居的任何值）被描述为： $m \times n$ $A$ $m$ $n$

注意：如果在通过来描述列时出现混淆，我表示歉意，但这是背诵视频描述它的方式，我尝试与该视频保持一致。这让我非常困惑。 $n$

选择中间的列 // 具有复杂性 $n/2$ $\Theta(1)$

求列的最大值// 具有复杂度， 因为一列中有行 $n/2$ $\Theta(m)$ $m$

检查水平。最大值的行邻居，如果大于，则找到一个峰值，否则以递归// 具有复杂度 $T(n/2, m)$ $T(n/2,m)$

然后要评估递归，背诵教练说

$T(1,m) = \Theta(m)$ 因为它找到最大值

$\begin{matrix} （E1） & Ť （ ñ ，米） = Θ （ 1个） + Θ （米） + Ť （ ñ / 2 ，米） \end{matrix}$ $T(n,m) = \Theta(1) + \Theta(m) + T(n/2, m) \tag{E1}$

我了解下一部分，在视频中的52:09，他说要把当作常量，因为行数永不改变。但我不知道这如何导致以下产品： $m$

\begin{matrix} (E2) & T (n, m) = Θ (m) \cdot Θ (\log n) \end{matrix}

$T(n,m) = \Theta(m) \cdot \Theta(\log n) \tag{E2}$

我认为，由于被视为常量，因此将其视为并在上面的中将其消除。但是我很难跳转到。这是因为我们现在考虑的是常数的的情况吗？ $m$ $\Theta(1)$ $(E1)$ $(E2)$ $T(n/2)$ $m$

我认为可以“看到”总体思想是，在最坏的情况下，对m个行执行操作。我要弄清楚的是如何描述从到到其他人的跳跃，即获得真正的理解。 $\Theta(\log n)$ $(E1)$ $(E2)$

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据我了解，评估给定列中的所有元素并确定其中哪些元素是全局最大值需要（m）时间。当进来的是，在最坏的情况下，该算法必须评估找到一个峰值之前的矩阵列。则总功为 $\Theta$ $\Theta (\lg(n))$ $\lg(n)$ $\Theta(m\lg(n))$

例如，假设您的矩阵有32列和8行。

您选择中间一列，即第16列。您对其进行了评估，并发现该列的全局峰已被右侧的元素所取代。您删除第1-16列，并专注于第17-32列
找到剩余矩阵的中间列，即第24列，然后评估一个全局峰（这是第二列评估）。您发现需要向右移动。删除第17-24列，专注于25-32。
查找中间（第28列）-您进行评估（第三列评估），然后发现需要向右移动。删除第25-28列，并专注于29-32。
评估第30列（第四次评估），发现您需要向右移动，删除第29-30列。
评估剩余的列之一（第五列评估），您就完成了。

总共，您完成了五列评估。5 = = 其中n是矩阵中的列数，lg是对数为2。 $\lg(32)$ $\lg(n)$

— ManGI1
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您概述的分析似乎不正确。正确的复杂度是，其中是矩阵的较大维度（行或列）。有关更多/更好的详细信息，请参见此其他正确的分析。错误的部分不限定递推关系在以下方面只（在纸张正确处理）。该论文显示/使用了一个无穷级数： $O(m)$ $m$ $T(n,m)$ $T(n,m)$

$\begin{eqnarray*} T(n) & = & T \left({n \over 2}\right) + cn \\ T(n) & = & T(1) + cn \left( 1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + \cdots \right) \\ &= & O(n) \end{eqnarray*}$

— z
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这个答案实际上是不可能的！OP在背诵视频MIT OCW 6.006中讨论了该算法，而这个答案是在讨论另一种算法。特别是，OP概述的分析对于该视频中的算法是正确的。

— John L.