天真的改组在渐近性上有多糟糕?
众所周知,这种“天真的”算法通过将每个项目与另一个随机选择的项目交换来改组数组,无法正常工作: for (i=0..n-1) swap(A[i], A[random(n)]); 具体来说,由于在次迭代中的每一次迭代中,都会做出选择之一(概率均等),因此通过计算存在可能的“路径”。因为可能的排列数为不能均匀地将路径数目划分为,该算法不可能产生路径中的每一个等概率排列。(相反,应该使用所谓的Fischer-Yates随机播放,这实际上改变了从[0..n]中选择随机数的调用与从[i..n]中选择随机数的调用;不过,这很无聊。)n nnn nnn nnnn^n n !n!n!n nnnn^n n !n!n! 我想知道的是,天真洗牌有多“糟糕”?更具体地说,令为所有置换的集合,令为通过朴素算法生成的最终置换的路径数,则的渐近行为是什么。功能P (Ñ )P(n)P(n)Ç (ρ )C(ρ)C(\rho)ρ ∈ P (Ñ )ρ∈P(n)\rho\in P(n) M(n)=n!nnmaxρ∈P(n)C(ρ)M(n)=n!nnmaxρ∈P(n)C(ρ)\qquad \displaystyle M(n) = \frac{n!}{n^n}\max_{\rho\in P(n)} C(\rho) 和 m(n)=n!nnminρ∈P(n)C(ρ)m(n)=n!nnminρ∈P(n)C(ρ)\qquad \displaystyle m(n) = \frac{n!}{n^n}\min_{\rho\in P(n)} C(\rho)吗? 首要因素是“标准化”这些值:如果幼稚的随机播放“渐近良好”,则 limn→∞M(n)=limn→∞m(n)=1limn→∞M(n)=limn→∞m(n)=1\qquad \displaystyle \lim_{n\to\infty}M(n) = \lim_{n\to\infty}m(n) = 1。 我怀疑(基于我见过的一些计算机模拟)实际值的界线是1,但是甚至知道limM(n)limM(n)\lim M(n)是有限的,还是limm(n)limm(n)\lim m(n)是界线的呢? …