如何为功能语言建模算法复杂度？

算法复杂度被设计为与较低级别的细节无关，但是它基于命令式模型，例如，数组访问和修改树中的节点需要O（1）时间。在纯功能语言中不是这种情况。Haskell列表需要线性时间才能访问。修改树中的节点需要制作树的新副本。

那么功能语言是否应该有替代的算法复杂性建模？

如果假设演算的函数式编程语言一个很好的模式，那么人们可能会想到：在λ演算具有的时间复杂度一个看似简单的概念：仅计算数量β -还原步骤（λ X 。中号）N → M [ N / x ]。$\lambda$$\lambda$$\beta$$(\lambda x.M)N \rightarrow M[N/x]$

但这是一个很好的复杂性度量吗？

为了回答这个问题，我们首先要弄清复杂性度量的含义。Slot和van Emde Boas的论点给出了一个很好的答案：任何好的复杂性度量都应该与使用Turing机定义的时间复杂性的规范概念具有多项式关系。换句话说，应该有一个从λ微积分项到Turing机的“合理”编码，例如对于某些多项式p，情况是每个项M的大小| M | ：M减少为p （| M $tr(.)$$\lambda$$p$$M$$|M|$$M$当 t r （M ）减小到图灵机的 p （| t r （M ）|）步长的值时， β-减小步长正好。$p(|M|)$ $\beta$$tr(M)$$p(|tr(M)|)$

长期以来，尚不清楚是否可以在λ微积分中实现。主要问题如下。

• 有一些项可以产生指数大小的范式（以多项式为步长）。即使写下标准格式也要花费指数时间。
• 选择的减少策略起着重要作用。例如，存在一系列项，这些项减少了并行β步的多项式数量（从最佳λ减少的意义上讲），但是其复杂度是非基本的（意味着差于指数）。

论文“ 测试版减少是不变的，实际上 ”由B. Accattoli和U.德尔拉戈通过展示一个“合理”的编码澄清了问题，可以保留复杂类P的多项式时间的函数，假设最左边最靠外的call-by-名减少。关键的见解是，指数级的爆炸只能出于“无趣”的原因而发生，而这些原因可以通过适当的共享来克服。换句话说，无论您是通过图灵机步数还是（从最左到外）定义类P，类P都是相同的简来。$\beta$

我不确定其他评估策略的情况。我不知道针对空间复杂性已经执行了类似的程序。

算法复杂度被设计为与较低级别的细节无关。

不，不是。我们总是在某些机器模型中计算基本操作：

• 图灵机的步骤。
• RAM的基本操作。

$\Omega$$\Theta$$O$$\Theta$

因此，您的问题有一个简单的答案：修复机器模型以及要计算的“操作”。这将给您一个措施。如果您希望结果能够与非功能算法相媲美，则最好将程序编译为RAM（用于算法分析）或TM（用于复杂性理论），然后分析结果。可能存在传递定理以简化此过程。

您可以将成本纳入语言定义本身中，而不用根据某些底层抽象机来制定复杂性度量，这称为“ 成本动态”。一个人以一种构成方式将一种成本附加到该语言的每条评估规则上，也就是说，一项操作的成本是其子表达式的成本的函数。这种方法对于函数式语言来说是最自然的方法，但是它可以用于任何定义良好的编程语言（当然，大多数编程语言并不是定义明确的）。