什么是有效算法？

从渐近行为的角度来看，什么被视为“有效”算法？当时画线的标准/原因是什么？就我个人而言，我认为任何可能被我天真地称为“次多项式”的事物，例如例如都是有效的，而任何将是“无效的”。但是，我听说过任何多项式阶数都被称为有效的东西。这是什么原因？$f(n) = o(n^2)$$n^{1+\epsilon}$$\Omega(n^2)$

这取决于上下文。在理论计算机科学中，通常每个多项式时间算法都被认为是“高效”的。在近似算法中，例如将被认为是有效的，即使它对于任何合理值在实践中都不可用。在中运行的SAT算法将是一个了不起的突破。 ε Ñ 2 $n^{1/\epsilon^{1/\epsilon}}$$\epsilon$$n^{2^{100}}$

在经典算法中，即80年代以前的算法，运行时间在以下（例如矩阵乘法，最小成本匹配，流，线性编程）被认为是有效的。我会说，大多数人仍然认为它们是高效的。当然，如果已知算法，则算法不被认为是有效的，例如用于排序。n 2 n 日志$n^3$$n^2$$n\log n$

如今，趋势是能够处理数TB数据的亚线性算法或流算法。尝试使用矩阵乘法来计算Google索引中所有页面的页面排名。那行不通。

当然，尽管算法确实很有用，但它的渐近运行时间并不能说明全部问题。有些算法具有良好的渐近运行时间，但是常量太大，以致无法有效使用。曾经 立顿称它们为银河算法。罗伯特·塞奇威克（Robert Sedgewick）甚至在他的将科学重新纳入计算机科学的演讲中指出，最坏情况的界限“通常对预测无用，对保证通常无用”，“最坏情况的分析对预测性能无用” 。

从分布式算法的角度来看，我的2美分：在查看大型网络（P2P，社交网络等）时，如果对于某些常数c >，其运行时间为O （log c n ），则认为分布式算法是有效的。0，算法使用O （log n ）位的消息。注意，对消息大小的要求通常比运行时间更为重要，特别是对于运行时间下限较大的“全局”问题，例如分布式MST。$O(\log^c n)$$c>0$ $O(\log n)$

背后的原因是，从渐近行为的角度来看，多项式增长率微不足道地小于超多项式增长率。实际上，当输入大小增加时，多项式时间算法的运行速度比超多项式时间算法快得多。

当然，没有人会说具有多项式复杂度例如的算法是“有效的”，但是大多数算法很少超过O （n 5）的复杂度。$O(n^{2000})$$O(n^5)$

实际的考虑甚至可能导致您说不能有效地处理非常大的输入，这就是为什么我们尝试证明下限并设计与这些下限匹配的顺序算法，并在一侧求助于并行的原因。另一方面。对于某些问题，如果您愿意接受概率保证，您甚至可以利用亚线性时间算法（极快，但可能无法以很小的概率提供正确的答案）。 $O(n^2)$

从理论上讲，如果算法的最坏情况下的运行时间受到输入长度中多项式的限制，则该算法是有效的。理由是多项式具有很好的闭包特性。加，乘，组成多项式是产生多项式的运算，如果您将问题彼此减少，则这些运算很好。

当然，随着输入长度的增加，多项式和指数之间的差距会变得非常大，因此多项式时间算法会更好。在实践中，多项式时间算法可能需要很长时间才能终止，但在某些情况下，它可能是一种最佳算法（最好的），在这种情况下，我会说它是有效的。

$n^3$$n^2$