构造两个满足

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构造两个函数满足： $f,g: R^+ → R^+$

是连续的； $f, g$
单调增加； $f, g$
和。 $f \ne O(g)$ $g \ne O(f)$

asymptotics landau-notation

— 杰西
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2

您是否考虑过这些功能可能不存在的可能性？

— jmite

如果两个

均为对数指数，则

或

。在实践中遇到的大多数功能都是这种形式。

f, g

$f,g$

f = O (g)

$f=O(g)$

g = O (f)

$g=O(f)$

— Yuval

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有许多此类功能的示例。理解示例的最简单方法就是手动构建。

让我们从自然数的函数开始，因为自然数可以连续地完成。

确保和是在它们的数量级之间交替。例如，我们可以定义 $f\neq O(g)$ $g\neq O(f)$

$f(n)=\begin{cases} n & n \text{ is odd}\\ n^2 & n \text{ is even}\\ \end{cases}$

这样，我们就可以使在奇数和偶数上表现相反。但是，这对您不起作用，因为这些功能并不是单调增加的。 $g$

但是，的选择有些随意，我们可以简单地增加幅度以具有单调性。这样，我们可以想出： $n,n^2$

， $f(n)=\begin{cases} n^{2n} & n \text{ is odd}\\ n^{2n-1} & n \text{ is even}\\ \end{cases}$ $g(n)=\begin{cases} n^{2n-1} & n \text{ is odd}\\ n^{2n} & n \text{ is even}\\ \end{cases}$

显然，这些是单调函数。同样，，因为在奇数整数上，行为类似于而行为类似于，反之亦然。 $f(n)\neq O(g(n))$ $f$ $n^{2n}$ $g$ $n^{2n-1}=n^{2n}/n=o(n^{2n})$

现在，您所需要做的就是将它们完整化为实数（例如，通过在整数之间添加线性部分，但这确实不重要）。

同样，既然您已经有了这个想法，则可以使用三角函数来构造此类函数的``封闭式''，因为和都在振荡，并且在交替点处达到峰值。 $\sin$ $\cos$

— 鲨鱼
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我们可以说，

和

？

和

如您的答案中所定义。

f (n) \in O (n^{2 n})

$f(n) \in O(n^{2n})$

g (n) \in O (n^{2 n})

$g(n) \in O(n^{2n})$

f (n)

$f(n)$

g (n)

$g(n)$

— mayank

是。我们甚至可以说，

（类似地对于

），这是比强

。

f (n) \leq n^{2 n}

$f(n)\le n^{2n}$

g

$g$

O

$O$

— Shaull 2013年

-3

对我来说很好的例子是：http : //www.wolframalpha.com/input/?i= sin%28x%29%2B2x%2C+cos%28x%29% 2B2x

f (n) = 2 x + s i n (x)

$f(n) =2x+sin(x)$

g (n) = 2 x + c o s (x)

$g(n) =2x+cos(x)$

f \neq O (g)

$f\neq O(g)$

g \neq O (f)

$g\neq O(f)$

— 用户名
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O

$O$