涉及非理性数字的语言不是CFL

我正在一本教科书中进行艰苦的练习，但我不知道该如何进行。这是问题所在。假设我们的语言为其中是一些无理数。我如何证明不是上下文无关的语言？$L = \{a^ib^j: i \leq j \gamma, i\geq 0, j\geq 1\}$$\gamma$$L$

在是理性的情况下，构造接受该语言的语法非常容易。但是因为不合理，所以我真的不知道该怎么办。看起来没有任何抽水式引理可以在这里工作。也许Parikh的定理在这里适用，因为从直觉上看，这种语言没有伴随的半线性Parikh图像。$\gamma$$\gamma$

此练习摘自第4章练习25的Jeffrey Shallit撰写的“形式语言和自动机理论第二门课程”。

我将非常感谢您的帮助或朝着正确的方向前进。谢谢！

根据帕里克定理，如果是上下文无关的，则集合将是半线性的，也就是说，它将是有限个集合的并集。形式，对于某些。$L$$M = \{(a,b) : a \leq \gamma b \}$$S = u_0 + \mathbb{N} u_1 + \cdots + \mathbb{N} u_\ell$$u_i = (a_i,b_i)$

显然，并且此外的每个，因为否则为足够大。因此（因为是有理数的）。这意味着中的每个满足。$u_0 \in M$$u_i \in M$$i > 0$$u_0 + N u_i \notin M$$N$$g(S) := \max(a_0/b_0,\ldots,a_\ell/b_\ell) < \gamma$$g(S)$$(a,b) \in S$$a/b \leq g(S)$

现在假设是并集，并定义。前述表明，联合中的每个都满足，并且由于。$M$$S^{(1)},\ldots,S^{(m)}$$g = \max(g(S^{(1)}),\ldots,g(S^{(m)})) < \gamma$$(a,b)$$a/b \leq g < \gamma$$\sup \{ a/b : (a,b) \in M \} = \gamma$

当是有理数时，证明失败，并且实际上是半线性的： 实际上，通过构造，右边的任何一对满足（因为）。相反，假设。当和，从减去。最终（因为表示$\gamma$$M$

该答案中除以外的所有变量都代表一个正整数。众所周知，给定一个非理性，存在一系列有理数使得更靠近比其他任何有理数小于其分母小于。$\gamma$$\gamma>0$$\dfrac{a_1}{b_1}\lt\dfrac{a_2}{b_2}\lt\dfrac{a_3}{b_3}\lt\cdots \lt\gamma$$\dfrac{a_i}{b_i}$$\gamma$$\gamma$$b_i$

事实证明，抽奖引理确实有效！

出于矛盾的考虑，令为作为上下文无关语言的抽运长度。令，这个词是但“几乎没有”。注意。考虑 ，其中且对于所有。$p$$L$$s=a^{a_p}b^{b_p}$$L$$|s|>b_p\ge p$$s=uvwxy$$|vx|> 1$$s_n=uv^nwx^ny\in L$$n\ge0$

令和分别为中 s和 s 的数目。$t_a$$t_b$$a$$b$$vx$

• 如果或，对于足够大的数目的比率 s到那个的以s将大于，即。$t_b=0$$\dfrac{t_a}{t_b}\gt\gamma$$n$$a$$b$$s_n$$\gamma$$s_n\not\in L$
• 否则，。由于，。因此， 由于， 表示。$\dfrac{t_a}{t_b}\lt\gamma$$t_b<b_p$$\dfrac{t_a}{t_b}\lt \dfrac{a_p}{b_p}$$\dfrac{a_p-t_a}{b_p-t_b}>\dfrac{a_p}{b_p}$$b_p-t_b<b_p$$\dfrac{a_p-t_a}{b_p-t_b}>\gamma,$$s_0\not\in L$

上面的矛盾表明不能与上下文无关。$L$

这是两个相关的简单练习。

练习1.显示不是上下文无关的，其中是一个无理数。$L_\gamma=\{a^{\lfloor i \gamma\rfloor}: i\in\Bbb N\}$$\gamma$

练习2。证明是上下文无关的，其中是有理数。$L_\gamma=\{a^ib^j: i \leq j \gamma, i \ge0, j\ge 0\}$$\gamma$