我们可以使用无理数（如π和e）生成随机数吗？

21

，和等无理数在小数点后具有唯一且不可重复的序列。如果我们从这样的数字中提取第个数字（其中是调用该方法的次数），并按原样制作一个数字，我们是否不应该得到一个完美的随机数生成器？例如，如果我们使用，和，则第一个数字是123，第二个数字是471，下一个数字是184，依此类推。 $\pi$ $e$ $\sqrt{2}$ $n$ $n$ $\sqrt{2}$ $e$ $\pi$

randomized-algorithms randomness random-number-generator

— 阿卜杜拉迪普·萨卡（Abhradeep Sarkar）
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30

您脑子里对“随机”有一个奇怪的定义。“随机”是指“不可预测的”。您的序列如何不可预测？您对“随机”有什么定义？也许您所说的“随机”有另一个名字。

— 埃里克·利珀特

7

请注意，插口算法可用于生成pi中的任何十六进制数字，而不必生成先前的数字。

— rcgldr

10

@EricLippert并非所有的伪随机数生成器都是可预测的吗？

— Federico Poloni

7

这个词已经出现了几次：这是一个“伪随机数”，而不是一个“随机数”。它是通过算法生成的数字（因此不是随机数），但是具有许多随机数具有的理想属性。另一种算法是“ NYC电话簿”算法，在该算法中，您可以按字母顺序浏览电话号码列表，并从每个电话号码中获取最后一位数字。不是随机的，而是具有一些相当不错的统计行为的伪随机！

— Cort Ammon-恢复莫妮卡

5

“伪”的意思是“类似于但不相似”。因此，伪随机数类似于但不是随机数。因此，我在这里不遵循您的思路。现在，加密强度PRNG具有理想的属性，即如果内部状态对于攻击者未知，我们拥有的任何统计测试都无法将加密PRNG与真实RNG区别开来，这包括它们缺乏可预测性。但是pi的数字不具有该属性。它们是高度可预测的。

— 埃里克·利珀特

17

最明显的缺点是基于无理数的PRNG算法不必要的复杂性。与LCG相比，它们需要为每个生成的数字进行更多的计算。而且这种复杂性通常会随着您按顺序进行的进一步增加。在1000台计算机上（以2010年为准），以十分之二的位数计算256位π花费了23天的时间-对于RNG来说，这是一个相当高的复杂性。

— 德米特里·格里戈里耶夫（Dmitry Grigoryev）
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47

对于完美的任何合理定义，您描述的机制都不是完美的随机数生成器。

不重复是不够的。十进制数是不可重复的，但是它是一个可怕的随机数生成器，因为答案是“总是”为零，偶尔是一个，再没有别的了。 $0.101001000100001\dots$
我们实际上不知道每个数字是否在或的十进制扩展中是否同样出现（尽管我们怀疑它们确实如此）。 $\pi$ $\mathrm{e}$
在许多情况下，我们要求随机数不可预测（实际上，如果您问随机人“随机”是什么意思，他们可能会说出不可预测性）。众所周知的常数的数字是完全可以预测的。
我们通常希望相当快地生成随机数，但是生成数学常数的连续数字往往非常昂贵。
但是，确实是和的数字在统计上看起来是随机的，从某种意义上来说，每个可能的数字序列似乎都应该以应该出现的频率出现。因此，例如，每个数字确实十分接近十分之一。每个两位数序列非常接近一百分之一，依此类推。 $\pi$ $\mathrm{e}$

— 大卫·里奇比
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11

第三点，必须对生成过程进行某种“秘密”输入，以使其不可预测（如果我们不想再依赖另一个随机数生成器，则生成过程本身应该是确定性的）。这种额外的输入通常称为种子。

— 离散蜥蜴

6

@Discretelizard的确如此，但是除了“返回从位置开始的连续数字”之外，没有太多的播种空间。到时候你见过数字，只有第一个内发生的顺序几次位数的，所以这是第一个中是唯一的概率高的数字，你知道的种子。

s

$s$

2 \log s

$2\log s$

s^{2}

$s^2$

π

$\pi$

s

$s$

— David Richerby

2

@Barmar：到那时，您必须问这种技术是否真的比“标准” PRNG更具性能（和更节省空间）。

— 凯文

2

pi或e的数字是完全不可预测的，特别是因为查看器/接收者/代码破坏者等不知道您已经到达的顺序如何。如果您从序列的数字237423开始，那么将花费很长的时间来弄清楚，这是随机的。

— 逆向工程师

10

@DaveBoltman如果我们不做密码学之类的事情，那么没人会在意它。如果我们正在执行加密，这是一个标准的假设，即您的对手知道您使用的是哪种算法，在这种情况下，包括序列来自哪个非理性数字以及如何选择数字，除了诸如“从数字开始”。如果对手不知道您正在使用的数字，那么可以肯定，下一位数字可能是任何数字，但随后他们猜测是，游戏开始了。

s

$s$

\sqrt{my birthday}

$\sqrt{\text{my birthday}}$

— David Richerby

29

从密码学上讲，它是无用的，因为对手可以预测每个数字。这也是非常耗时的。

— gnasher729
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11

OP从未提及加密技术...

— AnoE

13

@AnoE那么？该过程在密码上是无用的，仍然是有意义的，因为加密是对随机性的狂热用户。如果您打开设备/dev/random，/dev/urandom则总是有人会打开密码。

— 格雷格·施密特

6

您会对实时PRNG生成中无用的加密安全性感到惊讶。GPU PRNG中经常使用无理数。在许多应用程序中，如何“保护” PRNG根本无关紧要。诸如相干噪声生成之类的重要问题是分布的质量，周期的重复频率以及相邻种子引起的相关影响（这需要雪崩混频器进行修复）。老实说，您的答案是错误的，不属于此处，应该删除。

— WHN

6

这不是问题的答案。请注意，链接问题的操作使用随机数来进行蒙特卡洛分析。应该考虑解决所提出问题的更新。 mathoverflow.net/questions/26942/...

— CramerTV

8

当然，在许多应用程序中，PRNG不需要加密安全。但是OP没有询问它是否对某些目的有用，他们询问这种方法是否是“完美的RNG”。尽管他们尚未弄清“完美”的含义，但它不适合RNG的主要用途之一这一事实似乎与回答该问题非常相关。

— Geoffrey Brent

7

（更新后，许多人指出，随机数生成器是不一样的事，作为一个单一的正常序列）

如果您问是否可以从得到正常序列（即所有数字都统一出现），那么mathoverflow上有几个答案。例如，有关Pi的数字分布的答案是： $\pi$

...它被认为的是是一个正常数（〜每个数字序列的均匀分布）。 $\pi$

有关数字分配数据，请参见例如http://www.eveandersson.com/pi/precalculated-frequencies或https://thestarman.pcministry.com/math/pi/RandPI.html（前1000个数字）：

在mathoverflow上，还有以下不错的答案：

— 艾拉特
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3

如果您认为问题是重复的，那么为什么要回答呢？您应该简单地标记它，而不是强化不希望的发布行为。

— dkaeae

8

@dkaeae不支持其他站点上重复的问题。此外，在不同站点上的同一问题可以获得不同的答案。在这种情况下，诸如数学之类的网站可能不会过多考虑安全问题。另请参阅此答案。请注意，我们不鼓励同时在多个站点上问相同的问题，因为这往往会导致工作浪费。但是，不同人在不同时间，不同地点的相同问题通常是可以的。

— 离散蜥蜴

6

不幸的是，仅仅因为数字是正常的并不意味着输出数字就可以为您带来良好的RNG。这种RNG的输出仍然是完全可预测的。是否可接受可能取决于应用程序。因此，我认为这并不像说“ pi正常，大小写关闭”那么简单。

— DW

2

那只是对前几位数的实证观察？那是什么意思？

— 元帅工艺

1

@DW我提到我打算使用π和e之类的数字组合。并且请说一下，如果我们不知道发电机的运行顺序到底有多远，那么输出将如何可预测？

— Abhradeep Sarkar

1

通常，这种方法不起作用：“随机性”并不意味着您会得到很多不同的数字，但还有其他方面。例如，经典测试是查看所有两位或三位等组合是否以相同的频率出现。这将是一个非常简单的测试，可以排除明显的非随机结果，但到目前为止仍然过于简单，无法检查真正的随机行为。

请参阅有关随机性测试的Wikipedia页面，作为与此相关的主要来源的链接的集合。他们确实提到了很多听起来很复杂的概念。对此进行深入讨论不是很重要-但很显然，直觉上不可能声明一个特定数字作为此类数字的良好来源。

积极一点：对于特定的非理性数字，您当然可以随意尝试；即，将数字计算为足够大的数字，然后通过所有已知的测试来运行它（有用于此目的的工具，请参见上面的链接）。如果该措施是不够好为您的使用情况下，如果你都知道，这是密码学应用显然没用，总是得到相同的数字，如果你要从头开始，而且如果你过去的质量可能会降低n你选为了测试随机性，您可以使用这些数字。但是使用专用的（伪）随机数生成器会更好。没有什么能击败良好的物理随机性来源。

— no
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4

π

$\pi$

e

$\mathrm{e}$

3

Ayrat的答案链接到数学家进行过这些测试的其他站点。他们认为，但尚未证明π符合统计检验。

— Barmar

是的，这就是我上一段的意思-仅凭经验尝试是值得的；但严格来说，尚未证明（或不能简单地假定它为真）任意“看似复杂”的非理性。@ DavidRicherby，@ Barmar

— AnoE

1

与许多伪随机数一样，它提供了一个好的随机数，直到您意识到它是如何产生的为止。您选择的无理数（非代数和非先验）是很普遍的，因此比其他人更容易猜测。如果您选择不常见的生成器，则我看不到此方法有任何问题。

— 元帅工艺
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4

除了严重的低效率之外，没有问题，您依赖任何对手而不知道您的算法是什么，错误选择生成器可能导致很差的序列，……

— David Richerby

4

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

π

$\pi$

e

$\mathrm{e}$

超越数是不是代数的实数。实数不可能既非代数又非先验。

— Brady Gilg