P和NP不等式的矛盾证明？

我试图用层次定理证明N不等于NP。这是我的观点，但是当我向老师展示并扣除后，他说这是个问题，因为我找不到令人信服的理由接受。

我们首先假设。然后，它产生，然后跟随。按照立场，我们能够将每种语言都简化为。因此，。相反，时间层次定理指出，应该有一种语言，而不是在。这将导致我们得出以下结论：在，而不在，这与我们的第一个假设相矛盾。因此，我们得出的结论是。 $P=NP$ $\mathit{SAT} \in P$ $\mathit{SAT} \in TIME(n^k)$ $NP$ $\mathit{SAT}$ $NP \subseteq TIME(n^k)$ $A \in TIME(n^{k+1})$ $TIME(n^k)$ $A$ $P$ $NP$ $P \neq NP$

我的证明有问题吗？

complexity-theory time-complexity p-vs-np

— 倒序索引
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请用 $\mathit{SAT}$ 代替编写类似的内容 $SAT$ 。正如张国荣兰波特在他原来的LaTeX的书中写道，后者代表泰晤士报A乘以T.

— Oliphaunt -起用莫妮卡

更好的是，使用该complexity软件包并只需编写即可\SAT。（不过，我想这在堆栈上不可用。）

— Oliphaunt-恢复莫妮卡

@Oliphaunt为什么可以改善帖子时不建议编辑？尽管我必须说，这里的差异（如果有的话）比我预期的要微妙得多。

— 离散蜥蜴

@Discretelizard我经常这样做，但是这次（我当时在/正在使用手机）“工作太多”。输入所有这些$和\是一项艰巨的工作。我选择教育。（此决定可能并不完全是理性的。）

— Oliphaunt-恢复莫妮卡

Answers:

然后产生，然后它本身跟随。 $SAT \in P$ $SAT \in TIME(n^k)$

当然。

按照立场，我们能够将每种语言都简化为。因此，。 $NP$ $SAT$ $NP \subseteq TIME(n^k)$

第多项式时间的减少是不是免费的。我们可以说将语言简化为需要时间，其中是所用多项式时间缩减的指数。这是您的论点瓦解的地方。没有有限的使得对于所有我们都有。至少这不是从得出的，这将是一个更有力的陈述。 $O(n^{r(L)})$ $L$ $SAT$ $r(L)$ $k$ $L \in NP$ $r(L) < k$ $P = NP$

这个更强的声明确实与时间层次定理发生冲突，后者告诉我们不能崩溃为，更不用说所有。 $P$ $TIME(n^k)$ $NP$

— 奥尔普
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不仅是减少本身的时间。您可以减少一个更大的问题。如果我可以在O（n ^ 5）中求解X，并且可以将O（n ^ 6）中的Y减少为X的O（n ^ 3）大小的实例，那么我需要O（n ^ 15）总共。

— gnasher729

有趣的是，该论点也适用于PTIME完全问题，例如HORNSAT，它可以在线性时间内解决（但并非P中的所有问题都是线性时间）。

— 科迪

假设 $\mathrm{3SAT}\in\mathrm{NTIME}[n^k]$ 。由时间层次定理的非确定性版本，对于任何 $r$ ，有一个问题 $X_r\in\mathrm{NTIME}[n^r]$ 是不是在 $\mathrm{NTIME}[n^{r-1}]$ 。这是无条件的结果，不依赖于任何类型的假设，例如 $\mathrm{P}\neq\mathrm{NP}$

选择任何 $r>k$ 。假设我们有从确定性减少 $X_r$ 至 $\mathrm{3SAT}$ 在时间上运行 $n^t$ 。它产生一个大小最大为的 $\mathrm{3SAT}$ 实例，最多可以及时解决。根据我们对的选择，我们必须使，因此 $n^t$ $(n^t)^k=n^{tk}$ $X_r$ $tk>r-1$ $t>(r+1)/k$ 。该函数不受 $r$ 限制地增长。

这意味着将任意 $\mathrm{NP}$ 问题减少到 $\mathrm{3SAT}$ 。即使 $\mathrm{3SAT}\in \mathrm{P}$ ，还是有没有必然的这些削减可能需要多长时间。所以，特别是，即使 $\mathrm{3SAT}\in\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$ 对于一些 $k'$ ，我们不能断定 $\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$ ，或甚至 $\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k''}]$ 对于一些 $k''>k'$ 。

— 大卫·里希比
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