邻接矩阵特征值的直觉

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我目前正在努力了解Cheeger界和Cheeger不等式的使用，以及它们在频谱划分，电导，扩展等方面的使用，但是我仍然很难对邻接矩阵的第二个特征值有一个直观的认识。
通常，在图论中，我们遇到的大多数概念都非常容易理解，但是在这种情况下，我什至无法提出什么样的图的第二特征值会非常低或非常高。
我一直在阅读SE网络上四处询问的类似问题，但它们通常是指不同领域中的特征值（多元分析，欧几里得距离矩阵，相关矩阵 ...）。
但是关于频谱划分和图论的事情却一无所获。

在图和邻接矩阵的情况下，有人可以分享他对第二特征值的直觉/经验吗？

graph-theory adjacency-matrix

— 射线
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您是否熟悉邻接矩阵频谱与图上随机游走收敛之间的联系？

— Yuval Filmus，

@YuvalFilmus尽管非常熟悉随机游走，并且以某种方式熟悉了邻接矩阵的频谱，但一点也不。所以我的确对您的观点感兴趣：)

— m.raynal，

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第二个（特征值）特征值控制图中随机游动的收敛速度。许多讲义中对此进行了解释，例如Luca Trevisan的讲义。粗略地说，后至均匀的L2距离 $t$ 步骤可以由有界 $\lambda_2^t$ 。

第二个特征值出现的另一个地方是种植的集团问题。起点是观察到随机 $G(n,1/2)$ 图包含大小为 $2\log_2 n$ 的团，但是贪心算法只能找到大小为 $\log_2 n$ 的团，并且还没有更好的高效算法。（贪婪算法只是选择一个随机节点，丢弃所有非邻居，然后重复。）

这表明在顶部种植了一个大型集团。问题是：集团应该有多大，以便我们可以有效地找到它。如果我们种植一个的集团 $G(n,1/2)$ $C\sqrt{n\log n}$ ，那么我们就可以仅根据它们的度数来确定它们的顶点。但此方法仅适用于大小为 $\Omega(\sqrt{n\log n})$ 。我们可以使用频谱技术来改善这一点：如果我们种植大小为的集团 $C\sqrt{n}$ ，然后第二个特征向量对集团进行编码，就像Alon，Krivelevich和Sudakov在经典论文中所展示的那样。

更一般而言，前几个特征向量可用于将图划分为少量簇。例如，请参阅Luca Trevisan讲义的第3章，其中描述了高阶Cheeger不等式。

— Yuval Filmus
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（免责声明：此答案通常是关于图形的特征值，而不是特定于第二个特征值。不过，我希望它会有所帮助。）

关于图 $G = (V, E)$ 的特征值的一种有趣的思考方式是采用向量空间 $\mathbb{R}^n$ ，其中 $n = |V|$ 并用函数 $f\colon V \to \mathbb{R}$ （即顶点标记）标识每个向量。邻接矩阵的特征向量，然后，是的元件 $f \in \mathbb{R}^n$ 使得存在 $\lambda \in \mathbb{R}$ （即，本征值）与 $A f = \lambda f$ ， $A$ 是 $G$ 的邻接矩阵。需要注意的是 $A f$ 是与发送的每个顶点在地图相关联的向量 $v \in V$ 到 $\sum_{u \in N(v)} f(u)$ ， $N(v)$ 是所述组的邻居（即，顶点相邻） $u$ 。因此，在此设置下， $f$ 的特征向量属性对应于对函数值求和（在 $f$ 下）的属性。与顶点的函数值乘以常数 $\lambda$ 可以得到相同的结果。

— ka
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非常感谢，我从没有“见过”特征向量乘以\ lambda就能得到邻居函数值之和的值（即使它直接来自定义）。

— m.raynal，

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我都不是:)我偶然发现了关于图形特征值的教学大纲。

— dkaeae，

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我认为在大多数情况下，查看图 $G$ 的拉普拉斯算子会更有效率，它与邻接矩阵密切相关。在这里，您可以使用它来将第二个特征值与图的“局部与全局”属性相关联。

为简单起见，我们假设 $G$ 为 $d$ 正则。则 $G$ 的规范化Laplacian 为 $L= I - \frac1d A$ ，其中 $I$ 是 $n\times n$ 恒等式， $A$ 是邻接矩阵。关于拉普拉斯的好处是，写矢量作为功能 $f: V\to \mathbb{R}$ 像@dkaeae，以及使用 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 对于通常内积，我们有由下式给出二次形式这非常好的表达 $L$ ：

⟨ f, L f ⟩ = \frac{1}{d} \sum_{(u, v) \in E} (f (u) - f (v))^{2} .

$\langle f, Lf\rangle = \frac{1}{d} \sum_{(u,v) \in E}{(f(u) - f(v))^2}.$

$A$ 的最大特征值是 $d$ ，对应于 $L$ 的最小特征值，即 $0$ ；第二最大特征值 $\lambda_2$ 的 $A$ 对应的第二最小特征值 $L$ ，这是 $1 - \frac{\lambda_2}{d}$ 。根据最小-最大原理，我们有

1 - \frac{λ_{2}}{d} = min {\frac{⟨ f, L f ⟩}{⟨ f, f ⟩} : \sum_{v \in V} f (v) = 0, f \neq 0} .

$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\langle f, Lf\rangle}{\langle f, f\rangle}:\sum_{v \in V}{f(v)} = 0, f \neq 0\right\}.$

注意 $\langle f, Lf\rangle$ 不，当我们交接班 $f$ 由同一个常数每个顶点。因此，等效地，您可以为任何 $f:V \to \mathbb{R}$ 定义“居中”函数 $f_0$ 乘 $f_0(u) = f(u) - \frac{1}{n}\sum_{v \in V}{f(v)}$ ，和写

1 - \frac{λ_{2}}{d} = min {\frac{⟨ f, L f ⟩}{⟨ f_{0}, f_{0} ⟩} : f not constant} .

$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\langle f, Lf\rangle}{\langle f_0, f_0\rangle}: f \text{ not constant}\right\}.$

$\langle f_0, f_0\rangle = \frac{1}{n}\sum_{\{u,v\}\in {V\choose 2}}{(f(u) - f(v))^2}$ $\frac{n}{2}$

1 - \frac{λ_{2}}{d} = min {\frac{\frac{2}{n d} \sum_{(u, v) \in E} (f (u) - f (v))^{2}}{\frac{2}{n^{2}} \sum_{{u, v} \in (\binom{V}{2})} (f (u) - f (v))^{2}} : f not constant} .

$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\frac{2}{nd} \sum_{(u,v) \in E}{(f(u) - f(v))^2}}{\frac{2}{n^2}\sum_{\{u,v\}\in {V\choose 2}}{(f(u) - f(v))^2}}: f \text{ not constant}\right\}.$

What this means is that, if we place every vertex $u$ of $G$ on the real line at the point $f(u)$ , then the average distance between two independent random vertices in the graph (the denominator) is at most $\frac{d}{d - \lambda_2}$ times the average distance between the endpoints of a random edge in the graph (the numerator). So in this sense, a large spectral gap means that what happens across a random edge of $G$ (local behavior) is a good predictor for what happens across a random uncorrelated pair of vertices (global behavior).

— Sasho Nikolov
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