在可计算性和复杂性理论（可能还有其他领域）中，减少是无处不在的。有很多种类，但是原理保持不变：通过将实例映射到L_1中与解决方案等效的实例，可以证明一个问题至少与其他问题一样困难。本质上，我们表明，如果允许L_1的任何求解器使用归约函数作为预处理器，它也可以求解L_2。L 2 L $L_1$$L_2$$L_2$L 1 L $L_1$$L_1$$L_2$

这些年来，我已经完成了减少的份额，有些事情困扰着我。尽管每个新的减少都需要（或多或少）创造性的构造，但任务可能会让人感到重复。是否有规范的方法库？

人们可以定期采用哪些技术，模式和技巧来构造归约函数？

^{这应该成为参考问题。因此，请谨慎给出一般的，有说服力的答案，至少由一个例子说明了这一点，但仍然涵盖了许多情况。谢谢！}

特例

假设我们要针对约简R的概念显示L_1 \ leq_R L_2。如果L_1是一个特例的L_2，那是相当的简单：我们基本上可以使用标识功能。这背后的直觉很明显：一般情况至少与特殊情况一样困难。$L_1 \leq_R L_2$$R$$L_1$$L_2$

在“实践”中，我们被赋予，并被困在选择一个好的还原伙伴的问题上，即找到一个已证明是 hard 的的特例。L 1 L 2$L_2$$L_1$$L_2$$R$

简单的例子

假设我们想证明KNAPSACK是NP困难的。幸运的是，我们知道SUBSET-SUM是NP完整的，的确是KNAPSACK的特例。减少

$\qquad f(A,k) = (A, (1,\dots,1), k, |A|)$

足够 是KNAPSACK实例，它询问我们是否可以用项目值获得至少值，以使的相应权重总计始终低于。我们不需要权重限制来模拟SUBSET-SUM，因此只需将它们设置为重言式值即可。v V W $(V,W,v,w)$$v$$V$$W$$w$

简单运动问题

考虑一下MAX-3SAT问题：给定命题公式和整数，确定是否存在的解释至少满足子句。证明它是NP难的。ķ φ $\varphi$$k$$\varphi$$k$

3SAT是一种特例；其中的子句数。米$f(\varphi) = (\varphi, m)$$m$$\varphi$

例

假设我们正在调查SUBSET-SUM问题，并想证明它是NP困难的。

我们很幸运，并且知道PARTITION问题是NP完全的。我们确认这确实是SUBSET-SUM的特例，并制定

$\qquad \displaystyle f(A) = \begin{cases} \left(A, \frac{1}{2}\sum_{a \in A} a\right) &, \sum_{a \in A} a\mod 2 = 0 \\ \left(A, 1 + \sum_{a \in A} |a|\right) &, \text{else} \end{cases}$

其中是PARTITION的输入集，而是SUBSET-SUM的实例，该实例要求的子集求和为。在这里，我们必须注意没有拟合；在这种情况下，我们给出一个不可行的实例。（A ，k ）A k $A$$(A,k)$$A$$k$$k$

运动问题

考虑的问题最长路径：给定一个有向图，节点的和整数，决定是否有从一个简单的路径到在至少长度的。š ，吨ģ ķ 小号吨ģ $G$$s,t$$G$$k$$s$$t$$G$$k$

证明LONGEST-PATH是NP-hard。

HAMILTON-CYCLE是一个众所周知的NP完全问题，是LONGEST-PATH的特例。为任意节点在就足够了。 请特别注意从HAMILTON-PATH进行还原需要更多的工作。v $f(G) = (G,v,v,n)$$v$$G$

利用附近的已知问题

当遇到难以解决的问题时，尝试寻找已经被证明很难的类似问题通常是一个好主意。或者，也许您可​​以立即看到问题与已知问题非常相似。

示例问题

考虑一个问题

我们希望显示的是完整。我们很快注意到，这非常接近我们已经知道很难解决的问题，即可满足性问题（SAT）。$\mathsf{NP}$

的成员资格很容易显示。证书是两个分配。显然，可以在多项式时间内检查分配是否满足公式。$\mathsf{NP}$

SAT φ v （v ∨ ¬ v ）φ v = ⊥ v = ⊤ φ φ $\mathsf{NP}$硬度来自的减少。给定公式，我们通过引入新变量对其进行修改。我们在公式中添加了一个新子句。现在，如果是可满足的，则和都可以满足。因此，具有至少2个令人满意的分配。另一方面，如果不满足，则无论的值如何，它都绝对不能满足。$\text{SAT}$$\varphi$$v$$(v \vee \neg v)$$\varphi$$v = \perp$$v = \top$$\varphi$$\varphi$$v$

因此，是 -complete，这就是我们想要显示的。N $\text{DOUBLE-SAT}$$\mathsf{NP}$

寻找附近的问题

减少问题是一种艺术，经常需要经验和独创性。幸运的是，已经知道许多难题。Garey和Johnson的《计算机与难处理：NP完整性理论指南》是一本经典的书，其附录列出了许多问题。Google Scholar也是朋友。

在可计算性方面，我们经常研究图灵机。也就是说，我们的对象是函数，我们可以访问Gödel编号。太好了，因为只要我们保持可计算性，我们就可以使用输入函数做几乎所有想要的事情。

假设我们要证明是不可决定的。我们的目标是达到厄运的等同$L$

$\qquad \langle M \rangle \in K \iff \langle f_M \rangle \in L$

其中停止问题（或任何其他不确定的语言/问题）。$K = \{ \langle M \rangle \mid M(\langle M \rangle) \text{ halts} \}$

因此，我们需要提出一个可计算映射以便始终可计算。这是一种等同于厄运的创造性行为。查看一些示例以了解其工作原理：˚F $\langle M \rangle \mapsto \langle f_M \rangle$$f_M$

• 将约简映射到补码$A_{\mathrm{TM}}$
• 是否可以通过映射将这些语言中的任何一种还原为另一种？

通过选择不可确定语言（如来表示不是可确定语言，同样的工作：¯ $L$$\overline{K}$

• 给定图灵机接受的语言规则是否为半确定性质？
• 可计算常量函数集是否可以递归枚举？

1. 这就是Gödel编号的来源：我们通常免费获得此映射的可计算性。

它取决于所涉及的复杂性类，一个人是否想从一个给定的减少一个未知的，或未知给定的。常见的情况是证明NP Hard或NP Complete问题。一种常见的技术是在一个域中构造以某种方式运行的“小工具”，以模仿另一个域的行为。例如，将SAT转换为顶点覆盖，可以在顶点覆盖中构造一个与SAT子句类似的“小工具”，例如以下幻灯片所示：NP Krishnamoorthy的完全归约法（还有汉密尔顿路径的一个例子）。B B $A$$B$$B$$A$

一种有用的策略是从所讨论的复杂性类的问题的大量汇编中进行工作，并找到所研究问题的“表观最近问题”。这些方面的出色参考是《计算机与难处理性》，这是NP完整性理论的指南，Garey和Johnson则按不同的问题类型进行了组织。