为什么说广度优先搜索在时间？

经常有人说（例如，在Wikipedia中），图上的广度优先搜索（BFS）的运行时间为。但是，任何连接图都具有，即使在非连接图中，BFS也永远不会查看包含起始顶点的组件外部的顶点。该组件最多包含 边，所以它最多包含个顶点，这些是该算法将访问的唯一顶点。$G=(V,E)$$O(|V|+|E|)$$|V|\leq |E|+1$$|E|$$|E|+1$

这意味着，那么为什么不说运行时间仅为呢？$|V|+|E|\leq 2|E|+1$$O(|E|)$

_{这是关于Disjkstra算法运行时间的一个问题的评论。}

BFS通常描述如下（来自Wikipedia）。

 1  procedure BFS(G,start_v):
 2      let Q be a queue
 3      label start_v as discovered
 4      Q.enqueue(start_v)
 5      while Q is not empty
 6          v = Q.dequeue()
 7          if v is the goal:
 8              return v
 9          for all edges from v to w in G.adjacentEdges(v) do
10             if w is not labeled as discovered:
11                 label w as discovered
12                 w.parent = v
13                 Q.enqueue(w)

这个问题有些微妙：它隐藏在第3行中！问题是，我们将使用什么数据结构来存储已发现的顶点？

最简单的解决方案是使用每个顶点只有一个条目的布尔数组。在这种情况下，我们必须将数组的每个元素初始化为false，这需要时间。即使根本没有边，这也适用于每个图形，因此我们不能假定之间有任何关系和 并且我们得到的运行时间为。$\Theta(|V|)$$|V|$$|E|$$O(|V|+|E|)$

我们可以避免使用具有初始化时间的数据结构吗？我们的第一个尝试可能是使用链接列表。但是，现在测试是否已发现顶点（第10行）所花费的时间与所访问的顶点数成线性关系，而不是像以前那样恒定的时间。这意味着运行时间变为，在最坏的情况下更糟。（请注意，我们不想将其重写为因为这更糟：它可能和一样糟糕，而）$\Theta(|V|)$$O(|V|\,|E|)$$O(|E|^2)$$|V|^4$$|V|\,|E|\leq |V|^3$

使用动态调整大小的数组将使我们能够对列表进行排序，因此现在查找仅需要时间而运行时间仅为，仍然比标准差。$O(\log|V|)$$O(|E|\log|V|)$

最后，我们可以使用动态大小的哈希表：从大小为的常量表开始，  并在每次填充一半时将其加倍。这意味着表的最终大小最多为算法终止前发现的顶点数量的两倍，并且最多为因为我们从不发现起始顶点组件之外的任何东西。此外，复制哈希表以对其进行扩展所完成的总工作量最多为。查找和插入到哈希表的摊销，所以我们确实获得的运行时间。$c$$|E|+1$$c + 2c + 4c + \dots + 2|E|\leq 4|E|$ $O(1)$$O(|E|)$

因此是可能的，但是否想在实际实现中做到这一点？我可能不会说。除非您有理由相信输入图将包含许多小组件，否则维护哈希表的开销将为运行时间增加一个明显的常数。增长哈希表可能需要花费时间并且查找将需要您计算哈希函数，并且平均而言，要查看表中的多个插槽。哈希表的缓存性能不佳也可能会损害您在真实计算机上的性能。在大多数情况下，使用标准数组实现，部分是的主导项$O(|E|)$$4|E|$$O(|E|)$$O(|V|+|E|)$ 运行时间，考虑到这样做的实际成本，因此不值得使用哈希表来删除主导术语。