在DAG中找到两个顶点之间的最短和最长路径

给定一个未加权的DAG（有向无环图）以及两个顶点和，是否有可能找到多项式时间内从到的最短和最长路径？路径长度由边的数量测量。s t s $D = (V,A)$$s$$t$$s$$t$

我对寻找多项式时间内可能的路径长度的范围感兴趣。

附言：此问题与StackOverflow问题DAG中最长路径的重复。

对于最短路径问题，如果我们不关心权重，那么广度优先搜索是一种肯定的方法。否则，只要没有负边缘，Dijkstra的算法就可以工作。

对于最长的路径，您可以始终在图上使用Bellman-Ford并忽略所有边缘权重。回想一下，只要没有负重量周期，Bellman-Ford就可以工作，因此可以在DAG上使用任何重量。

令和。令表示边缘的权重。假设您要查找从到的最小和最大路径开销。m = | E （G ）| w （a → b ）（a → b ）s $n = |V(G)|$$m = |E(G)|$$w(a \to b)$$(a \to b)$$s$$t$

从，执行以下操作：$b := t$

1. 如果已经访问过，则返回已经计算出的和。否则，将标记为已访问。$b$$\min(b)$$\max(b)$$b$

2. 如下确定并记录和。$\min(b)$$\max(b)$

   • 如果，则存储。$b = s$$\min(s) := \max(s) := 0$
   • 其他设置忽略了。当计算一组空边的最大值和最小值时（根本没有入站边，或者全部被忽略），请设置。 $$\begin{align*}\min(b) &:= \min_{a \to b} \Bigl[ w(a \to b) + \min(a) \Bigr] \\ \max(b) &:= \max_{a \to b} \Bigl[ w(a \to b) + \max(a) \Bigr]\end{align*}$$ $\min(a) = \max(a) = \mathrm{inaccessible}$$b$$\min(b) := \max(b) := \mathrm{inaccessible}$

您应该能够证明该算法在时间，而忽略了初始化所有顶点变量所需的时间。$O(m)$