Hidoku NP是否完整？

Hidoku是一个网格，其中包含一些从1到预填充整数。目的是在网格中找到连续整数（从1到）的路径。更具体地讲，网格的每个像元必须包含从1到的不同整数，并且值每个像元必须具有值（也可以是对角线）的相邻像元。 $n \times n$ $n^2$ $n^2$ $n^2$ $z ≠ n^{2}$ $z + 1$

NP是否难以确定给定的Hidoku是否可解决？可以使用什么减少量？

编辑：根据评论，我给出一点澄清。给定一个单元格网格，其中一些单元格已经包含值（整数从1到n²）。我们必须使用从1到整数填充所有剩余的像元，以使没有两个像元具有相同的值，并且每个值都具有一个值的邻居。也就是说，在填充单元格之后，我们必须找到路径。在网格中，逻辑上访问每个单元。 $n^2$ $z ≠ n²$ $z + 1$ $1, 2, 3,\cdots, n^2$

Hidoku的例子是http://www.janko.at/Raetsel/Hidoku/018.c.gif。一个已经解决的Hidoku是http://diepresse.com/images/uploads/3/f/7/586743/spectrumsommerraetsel_7august_hidoku_schwer_loesung20100810172340.gif，您可以在其中看到我所指的路径。

complexity-theory reductions np-hard

— ipsec
source

直觉上，无需花太多时间，乍一看听起来可解决多项时间问题。在允许的值（

1, \dots, n^{2}

$1, \dots, n^2$ ）和顶点（

v_{1}, \dots v_{n}

$v_1, \dots v_n$ ）上进行动态编程之类的操作。在时间

可解决

O (n^{3})

$O(n^3)$ 。

— 帕尔GD

可以等效地将其建模为图形，如果节点是

中的后继节点，则将节点与边连接起来

N

$\mathbb{N}$ 。然后，您正在寻找汉密尔顿路径。根据Itai等人在网格图中的汉密尔顿路径。（1982）这个问题在网格图中是NP完全的。由于您允许对角连接，所以这不能立即解决您的问题，但预示着严重的后果。

— 拉斐尔

@Raphael构造的图不是DAG吗？

— 帕尔GD

我看不到这是DAG。据我了解，输入是一个（无向的）网格图（也包含对角线边），目标是找到哈密顿路径，并给出路径上某些节点的位置。

— 乔治，

@George Okey，我将问题解释为找到网格中增加值的最大路径！

— 帕尔GD

Answers:

我认为它是 -complete：正如Raphael所注意到的那样，带孔问题的网格图上的汉密尔顿周期是NP-完全的（Alon Itai，Christos H. Papadimitriou，Jayme Luiz Szwarcfiter：网格图中的汉密尔顿路径。计算11（4）：676-686（1982））。 $\sf{NP}$

因此，给定带有孔的网格图，您可以轻松构建等效的Hidoku游戏，其中初始固定像元填充所有偶数对角线；空的奇数对角线形成一个无向图，它等效于原始网格图并且当且仅当原始网格图具有哈密顿路径时，Hidoku才具有解。 $G$ $G$

在此处输入图片说明

图1：带有孔和等效的 Hidoku拼图的网格图（蓝色单元格代表初始固定编号的单元格（是第一个，最后单元格），白色单元格是玩家必须填充的单元格，紫色线表示初始固定编号单元格的顺序）。 $12 \times 12$ $1$ $144$

辅助（填充）线可以添加到底部或右侧，以使其成为正方形。

从网格图还原为Hidoku难题的另一个示例：6x4网格图嵌入在较大的13x13网格中；偶数对角线填充有固定数字，剩余的自由单元格等效于原始网格图。

在此处输入图片说明

完整的图片可以在这里下载。

一些补充说明，以完成答案：

这个问题也被称为Hidato ; 电路板可以具有任意形状（但作为正方形情况的概括，它仍然是NP硬的）；
正如史蒂文·斯塔德尼基（Steven Stadnicki）在其回答中正确证明的那样，如果最初的部分填充的网格不是以 ×的整数数组给出，而是以某种简洁的表示形式给出，那么问题就不在于NP 。但是，在NP中很明显，如果使用合理的整数表示列表来给出初始板，则为NP ； $n \times n$
我认为游戏的原始规则说解决方案应该是独特的 ; 因此问题出在美国（对美国不利），而不太可能出现在NP中。

总之，如果我们放弃唯一的解决方案约束，并使用整数列表指定初始棋盘，则游戏为完成。 $n^2$ $\sf{NP}$

— Vor
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这不是DAG吗？我是否完全误解了这个问题？

— 帕尔GD

@PålGD：不，我不认为这是DAG，它是具有对角线边缘的无向网格图。比赛以部分填充板开始，玩家必须从小区1开始，到达最后一个做垂直或对角线步（但或许我不rememeber规则非常好...现在我检查）

— 涡

但是它说“找到连续整数的路径”。

— 帕尔GD

也许只是意味着它不能两次访问同一单元，而必须访问所有单元

— Vor

1

$1$

n^{2}

$n^2$

$n\times n$ $\Omega(n)$ $n$ $\lg n$ $(x_i, y_i, w_i): x_i, y_i\leq n, w_i\leq n^2$ $(x_i, y_i)$ $w_i$ $\lg n + \lg n + \lg n^2 = 4\lg n\in O(\lg n)$ $\Omega(n)$ $o(n)$

$\Omega(n)$

（有关类似问题的讨论，请在cstheory.SE网站上回顾我关于简洁Nurikabe的复杂性的问题。）

— 史蒂文·斯塔德尼基（Steven Stadnicki）
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不以一元制指定董事会规模对我来说是不合理的解释。

— David Eisenstat 2013年

@DavidEisenstat不一定是自然的解释，但对我来说似乎是完全有效的解释。

— Steven Stadnicki

@StevenStadnicki：我同意你的看法，我在cstheory.stackexchange.com上发布的Binary Puzzle NP完全性证明中也做了类似的说明。尽管非一元表示确实不是那么合理：-)。我将在答案中添加注释。我也应该解决解决方案唯一性的问题。因为我认为原始规则说解决方案应该是唯一的。

— 2013年