（可能是简洁的）Nurikabe的复杂性是什么？

Nurikabe是一个基于约束的网格填充难题，与Minesweeper / Nonograms大致相似；将数字放置在网格上，该网格将为每个像元填充开/关值，每个数字指示该大小的已连接“上”像元的区域，并对“关闭”像元的区域（必须连接并且不能包含任何连续的2x2区域）。Wikipedia页面具有更明确的规则和示例难题。

通常，这类难题往往是NP完全的，Nurikabe也不例外。之所以将它们归类为NP，是因为解决方案本身是该问题的（多项式可验证的）见证。但是，与大多数类似的难题不同，Nurikabe实例可能很简洁：网格上的数独要求给定值是可解的（如果提供的给定值少于，那么就无法区分缺失的值符号），非图显然需要为每一行或每一列至少提供一个给定值，并且Minesweeper必须在至少以上的单元格中具有给定值，否则将不存在给定的单元格（因此无法确定其状态）。但是，尽管Nurikabe难题的存在必须总结为$n\times n$$\Theta(n)$$n-1$$1\over16$$\Theta(n^2)$，可能有每个大小，因此位可能足以指定大小为的Nurikabe拼图-或取反，位可能足以指定一个大小为Nurikabe的Nurikabe实例，这意味着唯一的保证是问题出在NEXP上。$\mathrm{O}(1)$$\Theta(\log(n))$$n$$k$$k$

不幸的是，我发现Nurikabe硬度的证明都使用了给定大小的构造，因此它们的实例是网格大小的多项式，而不是对数，因此我不能排除所有可解的问题。 “简洁”的Nurikabe拼图具有其他结构，因此解决方案的描述和验证同样简洁。例如，我知道的一个例子中有2个给定大小的谜题，会导致打开和关闭单元格的区域，每个区域都是$\Theta(n^2)$$\Theta(n^2)$$\mathrm{O}(1)$矩形等，因此对它们的描述很简洁。有没有人知道除了基本的NP完整性结果之外，还针对此难题进行的其他研究，尤其是对于可能简洁的案例的进一步复杂性结果吗？

（注意：这最初是在math.SE上提出的，但目前还没有任何答案，这似乎是该网站的适当研究水平）

您似乎真的在问：Nurikabe是否在NP中？

Nurikabe是NP难题的人，因为它可以构建多项式大小的小工具，可以将NP完全问题简化为Nurikabe决策问题。这就是Holzer，Klein和Kutrib以及海报中的McPhail和Fix所做的事情（两者均来自Wikipedia文章）。

两组作者都认为该问题在NP中是微不足道的，并抛弃了成员资格问题。您对简洁实例的不安似乎已经出现了-我认为问题不在于NP。考虑以下方式来形式化决策问题：

BINARY NURIKABE
输入：binary中的整数m和n ，代表Nurikabe电路板，以及一个三元组列表，每个表示电路板上的位置，并在该位置写入一个正整数。
问题：在考虑Nurikabe约束的情况下，剩余的木板位置可以用两种颜色上色吗？

如果和相反地在一元中指定，则确定给定Nurikabe实例是否存在某些（不一定唯一）解的决策问题在NP中，因为该解最多可以在位中指定，然后是多项式在输入大小。$m$$n$$mn$

相反，使用二进制编码时，存在一个问题（如您所指出的）：如果一个约束只有一个较大的约束（例如，将放在的中间板），则解决方案将需要位来表示，这是输入大小的指数。这意味着问题不在于NP，除非始终存在小证书。$(m-2)(n-2)$$m \times n$$mn-1$$\Theta(\log\, m + \log\, n)$

然后，您的问题就变成了：是否存在所有二进制Nurikabe实例的多项式大小的证书，可以在多项式时间内对其进行检查？

对我来说，这种证书一定存在并不明显。证明如何存在简洁，可快速验证的证书也不是显而易见的。

但是，对唯一解决方案的限制意味着问题实际上是美国难题，因此是共NP难题，因此不太可能是NP难题。关键是，如果有人将“具有唯一的解决方案”视为一种Nurikabe约束（与呈现给人类的实例的理想功能相反），那么证明存在解决方案是不够的，但还必须证明没有其他解决方案是可能的。那么仅此一项要求就足以确保问题可能不在NP中。即使对于一元版本的问题，也是如此。

综上所述：如果放宽独特的解决方案要求，并以一元制指定董事会规模，那么决策问题就在NP中；对于非唯一的解决方案和二进制板的尺寸，目前尚不清楚决策问题是否在NP中。并采用独特的解决方案，决策问题在美国很难解决，因此无论采用哪种板级编码方式，决策问题都不大可能出现在NP中。