Questions tagged «cc.complexity-theory»

P与NP以及其他资源受限的计算。


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P和NPC之间的问题
分解和图同构是NP中的问题,这些问题在P中也不是完整的。共有此属性的其他一些(足够不同的)自然问题是什么?直接来自拉德纳定理证明的人为例子不算在内。 仅假设某些“合理”假设,这些示例中的任何一个是否可证明是NP中间的?

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复杂性理论需要什么样的数学背景?
我目前是一名本科生,今年定会毕业。毕业后,我正在考虑成为一名TCS硕士/博士。我开始想知道哪些数学领域被认为对TCS有帮助,特别是(经典)复杂性理论。 对于想研究复杂性理论的人,您认为哪些领域至关重要?您是否知道涵盖这些领域的任何优秀教科书,如果有,请说明其难度等级(入门级,研究生等)。 如果您考虑的领域在复杂性理论中使用不多,但认为对TCS至关重要,则也请参考它。

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TCS中哪些有趣的定理依赖于选择公理?(或者,确定性公理?)
数学家有时会担心选择公理(AC)和决定性公理(AD)。 选择公理:给定任何集合的非空集,有一个函数,给定一组在,返回的成员。 f S C SCC{\cal C}fffSSSCC{\cal C}小号SS 确定性公理:令为一组无限长的位字符串。爱丽丝(Alice)和鲍勃(Bob)玩游戏,其中爱丽丝(Alice)选择第一位,鲍勃(Bob)选择第二位,依此类推,直到构造了无限字符串。如果x \ in S,爱丽丝赢得比赛,如果x \ not \ in S,鲍勃赢得比赛。假设每个S都有一个玩家获胜的策略。(例如,如果S仅由全1字符串组成,则Bob可以有限次数地获胜。)b 1 b 2 x = b 1 b 2 ⋯小号SSb1个b1b_1b2b2b_2x = b1个b2⋯x=b1b2⋯x = b_1 b_2 \cdots X ∈ 小号x∈Sx \in Sx∉Sx∉Sx \not \in S 小号SSSSSS 已知这两个公理彼此不一致。(考虑一下,或者去这里。) 其他数学家很少或根本不关注这些公理在证明中的使用。它们似乎与理论计算机科学几乎无关,因为我们认为我们主要处理有限的对象。但是,由于TCS将计算决策问题定义为无穷大的位字符串,并且我们将(例如)算法的时间复杂度作为自然值上的渐近函数进行测量,因此始终有可能使用这些公理之一变成一些证据。 在TCS中最引人注目的示例是什么,您知道其中需要这些公理之一吗?(你知道例子吗?) 只是预示了一点,请注意,对角化参数(例如,在所有图灵机的集合上)不是“选择公理”的应用。尽管图灵机定义的语言是一个无限的位字符串,但是每台图灵机都有一个有限的描述,因此我们实际上不需要在这里为无数个无限集选择函数。 (我放置了很多标签,因为我不知道示例将来自何处。)

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当前,在大输入的一般情况下,解决问题或问题是不可行的。但是,两者都可以在指数时间和多项式空间中求解。P S P A C EñPNPNPP小号P一çËPSPACEPSPACE 由于我们无法构建不确定的或“幸运的”计算机,因此如果问题是 -complete或 -complete,对我们有什么影响?P S P A C EñPNPNPP小号P一çËPSPACEPSPACE

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P中的运行时范围是否可确定?(答案:否)
提出的问题是以下问题是否可以确定: 问题 给定整数kkk且图灵机MMM承诺在P中,相对于输入长度n,MMM 的运行时间是否为?O(nk)O(nk){O}(n^k)nnn 可以接受“是”,“否”或“公开”的狭义答案(带有参考文献,证明草图或对当前知识的回顾),但也欢迎广泛的答案。 回答 Emanuele Viola 发布了一个证明 该问题无法确定的证据(见下文)。 背景 对我来说,这个问题自然是在解析Luca Tevisan对以下问题的回答时引起的:P的运行时是否需要EXP资源才能达到上限?……具体例子已知吗? 该问题还与MathOverflow问题有关:数学上最有吸引力的图灵不可思议的问题是什么?在认识到运行时间估计是与(例如)控制理论和电路设计相关的普遍存在的工程问题的一种变型中,单词“数学”改为“工程”。 因此,提出此问题的主要目标是获得更好的理解/直觉,即复杂度等级P中的运行时估计的哪些实际方面是可行的(即,需要P中的计算资源进行估计),而不是不可行的(即,需要EXP中的计算资源进行估算),而不是形式上不确定的。 -编辑(答案后)- 我已将Viola定理添加到MathOverflow的社区Wiki “引人入胜的不可思议的问题”中。 这是Wiki与复杂度等级P相关的第一个贡献;这证明了中提琴定理的新颖性,自然性和广泛性(恕我直言,它的美也是如此)。 -编辑(答案后)- Juris Hartmanis的专着《可行的计算和可证明的复杂性》(1978年)涵盖了与Emanuele Viola的证明大部分相同的材料。


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有关PP中的PH的更多信息?
赫克·贝内特(Huck Bennett)最近提出的一个问题是,PP班级中是否包含PH班级,却得到了一些相互矛盾的答案(似乎都是正确的)。一方面,一些预言结果相反,另一方面,斯科特(Scott)认为答案很可能是肯定的,因为Toda定理表明PH在BP.PP(PP的概率变异体)中,我们通常认为随机化确实可以并没有太大帮助,例如合理的硬度假设意味着PRG可以代替随机化。 现在,对于PP来说,先验性的是,即使一个“完美的” PRG都将暗示完全去随机化,因为自然的去随机化将对所有多项式可能的种子运行PRG输出的原始算法并获得多数表决,这一点尚无定论。 。尚不清楚在PP计算中获得多数表决是否可以在PP本身中完成。但是,Fortnow和Reingold的一篇论文显示,PP在真值表归约条件下被关闭(扩展了PP在交叉路口被关闭的令人惊讶的结果),这似乎足以进行多数表决。 那么,这里的问题是什么?Toda,Fortnow-Reingold和所有基于PRG的非随机化似乎都相对化了,因此就意味着对于存在适当PRG的每个预言者,PP中的PH都相对。因此,对于所有PP不包含PH的预言(例如,来自Minski&Papert,Beigel或Vereshchagin 的预言),PP的PRG不存在。特别是,这意味着对于这些预言机,EXP中没有适当的硬功能(否则将存在类似NW-IW的PRG)。从积极的一面看,这意味着在每个预言结果的某个地方都隐藏了(近似)EXP的(非均匀)PP算法。这很奇怪,因为所有这些oracle结果似乎都依赖于新的PP 下限(用于阈值电路),并且在他们的甲骨文构建机制中很简单,所以我看不到PP皮革的上限在哪里。也许这个上限通常可以显示(非均匀的)PP可以计算(或至少对某些EXP产生偏差)?这样的事情至少不会给EXP的CH模拟吗? 因此,我想我的问题有两个:(1)这种推理链是否有意义?(2)如果是这样,那么有人可以“发现” PP的隐含上限吗? 亚伦·斯特林(Aaron Sterling)编辑:将其撞到首页并添加赏金。这是我最喜欢的问题之一,但仍然没有答案。

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从P到NP-hard的参数化复杂度,然后再返回
我正在寻找的由多个参数化问题的例子ķ ∈ Ñk∈Nk \in \mathbb{N},问题出在哪里的硬度非单调的ķkk。大多数问题(在我的经验)具有单一相变,例如ķkk -SAT已经从单一的相变ķ ∈ { 1 ,2 }k∈{1,2}k \in \{1,2\}(其中,这个问题是在P)到ķ ≥ 3k≥3k \ge 3(其中的问题是NP-完成)。我对随着k增大而在两个方向(从容易到困难,反之亦然)都存在相变的问题感兴趣。ķkk 我的问题有点类似于“ 计算复杂性中的硬度跳跃”中的问题,实际上,那里的某些回答与我的问题有关。 我知道的示例: ķkk平面图的 k可着色性:在P中,除了k=3k=3k=3(其中NP完全)。 带有kkk终端的Steiner树:在P中,当k=2k=2k=2(塌陷到最短的sss - ttt路径)和k=nk=nk=n(塌陷到MST)时,但是NP困难在“中间”。我不知道是否这些相变尖锐(例如,P为k0k0k_0但NP-很难k0+1k0+1k_0+1)。而且,与我的其他示例不同,的转换kkk取决于输入实例的大小。 计算满足模的平面公式的满意分配nnn:在P中,当nnn是梅森素数n=2k−1n=2k−1n=2^k-1,对于大多数(?)/ 所有其他值#P-complete nnn(来自该线程的 Aaron Sterling ) 。许多相变! 诱导子图检测:问题不是由整数参数化,而是由图形参数化。存在图(其中⊆指的是一种子关系的),其用于确定是否ħ 我 ⊆ ģ对于给定的曲线图G ^是在P代表我∈ { 1 ,3 }但NP-对于i = 2完成。(来自张显智的同一线程)。H1⊆H2⊆H3H1⊆H2⊆H3H_1 \subseteq H_2 \subseteq H_3⊆⊆\subseteqHi⊆GHi⊆GH_i \subseteq GGGGi∈{1,3}i∈{1,3}i\in \{1,3\}i=2i=2i=2

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与人的思维可以快速完成的最紧密相关的复杂性类别是什么?
这个问题是我一段时间以来一直想知道的。 当人们描述P与NP问题时,他们经常将NP类与创造力进行比较。他们注意到,编写莫扎特品质的交响曲(类似于NP任务)似乎比验证已经组成的交响曲是莫扎特质量(类似于P任务)困难得多。 但是NP真的是“创造力阶层”吗?还有没有其他候选人吗?有句老话:“一首诗永远不会结束,只会被抛弃。” 我不是诗人,但是对我来说,这让我想起了没有明确正确答案可以快速验证的事物的想法……它比起NP或SAT更让我想起了coNP和TAUTOLOGY之类的问题。我想我要说的是,很容易验证一首诗“错误”并需要改进,但是很难验证一首诗“正确”或“完成”。 实际上,NP使我想起了更多的逻辑和左脑思维,而不是创造力。与诗歌或音乐相比,证明,工程问题,数独难题和其他定型的“左脑问题”更像是NP,并且从质量的角度来看更容易验证。 因此,我的问题是:哪个复杂性类别最准确地反映了人类可以用自己的思想完成的全部工作?我一直在无所事事地想知道(并且没有任何科学依据来支持我的推测),也许左脑不是一个近似的SAT解算器,而右脑不是一个近似TAUTOLOGY的解算器。也许是为了解决PH问题而建立了头脑……或者甚至可以解决PSPACE问题。 我已经在上面提供了我的想法;我很好奇是否有人可以对此提供更好的见解。简而言之,我要问的是:哪种复杂性类别应与人的思维能力有关,并寻求证据或论点来支持您的观点。或者,如果我的问题不适当地,并且无法比较人类和复杂性类别,为什么会这样呢? 谢谢。 更新:除了上面的标题,我已经保留了所有内容,但这是我真正要问的问题:哪种复杂性类别与人的思维能力可以快速完成?如果可以的话,什么是“多项式人类时间”?显然,人类可以在无限的时间和资源下模拟图灵机。 我怀疑,答案是pH或PSPACE,但我真的不能明确表达了一个智能的,一致的说法为什么是这种情况。 另请注意:我主要对人类可以大致估计或“大部分时间可以做什么”感兴趣。显然,没有人能解决SAT的难题。如果头脑是一个近似的X-求解器,并且X对于类C是完整的,那很重要。

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可用于显示多项式时间硬度结果的问题
在设计新问题的算法时,如果过一会儿找不到多项式时间算法,我可能会尝试证明它是NP难的。如果我成功了,我已经解释了为什么我找不到多项式时间算法。并不是我可以肯定地知道P!= NP,而仅仅是用当前的知识可以做到这一点,实际上共识是P!= NP。 类似地,假设我已经找到了针对某些问题的多项式时间解,但是运行时间为。经过大量的努力,我对此没有任何进展。因此,我可能尝试证明它是3SUM硬的。这通常是令人满意的情况,不是因为我绝对相信3SUM确实确实需要Θ (n 2)时间,而是因为这是当前的最新状态,并且许多聪明的人都在尝试改进它,失败了 因此,尽我所能并不是我的错。O(n2)O(n2)O(n^2)Θ(n2)Θ(n2)\Theta(n^2) 在这种情况下,我们最好的办法是硬度结果代替实际的下限,因为对于NP中的问题,我们没有图灵机的任何超线性下限。 是否存在可用于所有多项式运行时间的统一问题集?例如,如果我想证明某个问题不可能比更好的算法,是否存在某个问题X使我可以证明它是X-hard并留在那儿?O(n7)O(n7)O(n^7) 更新:此问题最初是针对家庭问题。既然没有那么多问题,而且这个问题已经收到了有关单个困难问题的出色示例,所以我将问题简化为可以用于多项式时间硬度结果的任何问题。我还在这个问题上添加了赏金,以鼓励更多答案。


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令人惊讶的问题计数算法
存在一些计数问题,其中涉及对许多事物进行指数计数(相对于输入的大小),但是却具有令人惊讶的多项式时间精确确定性算法。示例包括: 在平面图中计算完美匹配(FKT算法),这是全息算法如何工作的基础。 计算图中的生成树(通过基尔霍夫矩阵树定理)。 这两个示例中的关键步骤是减少计数问题,从而计算出某个矩阵的行列式。当然,行列式本身就是指数式许多事物的总和,但令人惊讶地可以在多项式时间内计算。 我的问题是:是否有已知的“令人惊讶的高效”精确和确定性算法可以计算问题,而不会减少计算行列式?

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能否将P = NP放大到超过P = PH?
在描述复杂性方面,Immerman具有 推论7.23。以下条件是等效的: 1. P = NP。 2.在有限的有序结构上,FO(LFP)= SO。 可以认为这是将P = NP“放大”为(大概)较大复杂度类的等效语句。请注意,SO捕获多项式时间层次结构PH,而FO(LFP)捕获P,因此可以将其视为P = NP且P = PH。 (其中有趣的部分是,对于任何包含NP的CC类,P = NP表示P = PH; P = CC表示P = NP是微不足道的。Immerman简单地指出“如果P = NP则PH = NP” ,大概是因为P = NP可以与PH的oracle定义一起使用,以归纳地表明整个层次结构都崩溃了。) 我的问题是: 这样可以将P = NP放大多少? 特别地,什么是最大的已知类CC',使得P = NP表示P = CC',最小的类CC',使得P = NP意味着CC = NP?这将使P = NP被等效问题CC = CC'代替。P似乎是一个相当强大的类,它似乎为试图将其与NP分离的参数提供了很少的“摆动空间”:该摆动空间可以放大多远? 我当然也会对一个表明P …


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