可用于显示多项式时间硬度结果的问题

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在设计新问题的算法时，如果过一会儿找不到多项式时间算法，我可能会尝试证明它是NP难的。如果我成功了，我已经解释了为什么我找不到多项式时间算法。并不是我可以肯定地知道P！= NP，而仅仅是用当前的知识可以做到这一点，实际上共识是P！= NP。

类似地，假设我已经找到了针对某些问题的多项式时间解，但是运行时间为。经过大量的努力，我对此没有任何进展。因此，我可能尝试证明它是3SUM硬的。这通常是令人满意的情况，不是因为我绝对相信3SUM确实确实需要时间，而是因为这是当前的最新状态，并且许多聪明的人都在尝试改进它，失败了因此，尽我所能并不是我的错。 $O(n^2)$ $\Theta(n^2)$

在这种情况下，我们最好的办法是硬度结果代替实际的下限，因为对于NP中的问题，我们没有图灵机的任何超线性下限。

是否存在可用于所有多项式运行时间的统一问题集？例如，如果我想证明某个问题不可能比更好的算法，是否存在某个问题X使我可以证明它是X-hard并留在那儿？ $O(n^7)$

更新：此问题最初是针对家庭问题。既然没有那么多问题，而且这个问题已经收到了有关单个困难问题的出色示例，所以我将问题简化为可以用于多项式时间硬度结果的任何问题。我还在这个问题上添加了赏金，以鼓励更多答案。

cc.complexity-theory lower-bounds conditional-results

— 罗宾·科塔里（Robin Kothari）
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5

页面maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P11.html总结了有关3SUM上下限和相关问题的一些结果，值得一读。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

2

对于具有至少两个磁带的TM，不存在超线性下界，不是吗？我记得在某处读过，在单磁带TM上检查回文具有二次时间下限。当我们谈论下限内

，那种

与

，它仍然是确定的假设，以旧换新的具体型号没多大关系？

P

$P$

Ω (n^{i})

$\Omega(n^i)$

Ω (n^{i + 1})

$\Omega(n^{i+1})$

— gphilip's

3

主题外：Robin，Tsuyoshi，感谢您介绍3SUM下界系列：我以前从未听说过它们。

— gphilip's

2

@Tsuyoshi：感谢您提供信息。这是关于以下主题的不错的调查：cs.mcgill.ca/~jking/papers/3sumhard.pdf。@gphilip：最近，一些计算几何体向我介绍了这个问题。我猜这在那个领域是众所周知的。

— 罗宾·科塔里

好问题。您能否阐明“统一”的含义：是否要限制参数的预处理量？

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）2010年

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是的，最有名的算法 -sum运行在的时间，所以这是非常可能的，你可能会说一些问题是困难的，因为如果它在，那么你就可以解决 -求和更快。 $k$ $O(n^{\lceil k/2 \rceil})$ $n^7$ $n^{6.99}$ $14$

请注意，随着增加， -SUM问题变得“更容易” ：给定 -SUM 的改进算法，很容易得到 -SUM 的改进算法：取所有对个数给定 -SUM实例，用这两个对之和替换每对，并从等于的那些中寻找个和。然后，针对 -SUM 的算法意味着 $k$ $k$ $k$ $2k$ $O(n^2)$ $n$ $2k$ $k$ $0$ $O(n^{k/2-\varepsilon})$ $k$ 算法为 -sum。换句话说，紧密下界 -sum是更强的假设比紧密下界 -sum。 $O(n^{k-2\varepsilon})$ $2k$ $2k$ $k$

难题的另一个候选者是 -Clique。有关更多信息，请参见我的 -Clique答案。如果您可以证明（例如）针对问题的更好算法意味着针对斜度的算法，则将需要超级突破来改进您的算法。参数化复杂性给出了这样的其他问题的例子很多： -Clique是硬的类，和 -sum是很难。 $k$ $O(\log n)$ $O(n^2)$ $3$ $k$ $W\[1\]$ $k$ $W\[2\]$

让我警告您，尽管这样的问题很方便处理，但 -SUM之类的问题并不是 “最难”的问题，例如，每个问题都不太可能实际上，可以将线性时间减小为 -SUM。这是因为可以用线性时间中的位不确定性来求解 -SUM ，因此，如果可以将二次时间中的所有时间都减小为 -SUM，则 $3$ $TIME[n^2]$ $TIME[n^2]$ $3$ $3$ $O(\log n)$ $3$ 和其他奇妙的结果。关于这一点的更多信息，请参见文章“困难问题有多难？”。（在某些时候，“ 3SUM-hard”被称为“ -hard”；此SIGACT文章正确地抱怨了该名称。） $P \neq NP$ $n^2$ $n^2$

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
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4

O (n^{2} .376)

$O(n^2.376)$

Θ (n^{k})

$\Theta(n^k)$

k

$k$

k

$k$

k

$k$

O (n^{k / 2})

$O(n^{k/2})$

k

$k$

k

$k$

O (n^{k / 2})

$O(n^{k/2})$

n^{2}

$n^2$

@Ryan：你是对的，他们是一样的。尽管使用k-SUM，至少我们在较弱的模型中有证据证明猜想边界是正确的。我不知道有任何论据暗示3-clique应该不比矩阵乘法快解决。

— 罗宾·科塔里

n^{f (k)}

$n^{f(k)}$

f (k) = Θ (k)

$f(k) = \Theta(k)$

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$\Omega^\star(n^3)$

— 米海
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2

图的直径怎么样？更好的是，使其成为决策问题“直径是否至少为k？”。据我所知，它的优点是没有明显的超线性界限。

— 拉斐尔

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$d$ $O(n^d)$ $n$ $d$ $d+1$

$(d+1)$ $k$ $\Omega(n^{\lfloor d/2 \rfloor +1})$ $d \geq 3$

J. Erickson，S。Har-Peled和DM Mount，关于最小均方问题，离散和计算几何，第36卷，第593-607页，2006年。http：//www.cs.umd.edu/~mount/Papers /dcg06-lms.pdf

J. Erickson和R. Seidel。在检测原子和球面简并性时更好的下限。离散计算。Geom。，1995 ： 13：41-57。http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/degen.html

J.埃里克森。奇数维凸包问题的新下界。SIAM J. COMPUT。，28：1198至1214年，1999年http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/convex.html

— 吉尔赫姆·达·丰塞卡
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我喜欢这个答案，但是您能解释一下吗？为什么会相信？

— 亚伦·斯特林

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$\Theta(n^{4/3})$ $n$ $n$

— 杰夫斯
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7

有没有可以归结为霍普克罗夫特问题的非几何问题？

— Suresh Venkat

我决定悬赏这个答案，因为我以前从未听说过这个问题。

— 罗宾·科塔里