令人惊讶的问题计数算法

存在一些计数问题，其中涉及对许多事物进行指数计数（相对于输入的大小），但是却具有令人惊讶的多项式时间精确确定性算法。示例包括：

• 在平面图中计算完美匹配（FKT算法），这是全息算法如何工作的基础。
• 计算图中的生成树（通过基尔霍夫矩阵树定理）。

这两个示例中的关键步骤是减少计数问题，从而计算出某个矩阵的行列式。当然，行列式本身就是指数式许多事物的总和，但令人惊讶地可以在多项式时间内计算。

我的问题是：是否有已知的“令人惊讶的高效”精确和确定性算法可以计算问题，而不会减少计算行列式？

我不知道以下问题是否会减少或不计算行列式，但无论如何我都会列出：

1）计算DAG中从节点到节点的路径数。但这并不奇怪。简单地确定从是否可到达在NL中，因此在DET中。我不知道计数版本。$v_0$$v_f$$v_f$$v_0$

2）计算有界树宽结构中MSO逻辑中可定义的问题的解决方案数。例如，参见有关Courcelle，Arnborg等人作品的论文。

3）如果您有函数，该函数可以用对数树宽的布尔电路表示，那么您可以计算通过设计一个将发送到的量子电路来输入，使得，并且经典地模拟测量的概率使用这些结果，在应用之后的第二个寄存器中。$f:\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$$x$$f(x)=1$$U_f$$|x\rangle|0\rangle$$|x\rangle|f(x)\rangle$$|1\rangle$$U_fH^{\otimes n}|0\rangle|0\rangle$

由于亚历山大·巴维诺克（Alexander Barvinok ），在多项式时间内计算有理多面体（尺寸不变时）中的晶格点数。

在Holant框架中，除了通过平面图中的匹配门之外，还有几种情况很容易处理（出于非平凡的原因）。

1）斐波那契盖茨

2）任何仿射签名集。

3）非负加权#CSP

...仅举几例

同样，BEST定理给出了多项式时间算法，用于对有向图中欧拉回路的数量进行计数，尽管该算法的一部分确实使用了行列式计算。