Questions tagged «counting-complexity»

计算解决方案的数量有多难?

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有关PP中的PH的更多信息?
赫克·贝内特(Huck Bennett)最近提出的一个问题是,PP班级中是否包含PH班级,却得到了一些相互矛盾的答案(似乎都是正确的)。一方面,一些预言结果相反,另一方面,斯科特(Scott)认为答案很可能是肯定的,因为Toda定理表明PH在BP.PP(PP的概率变异体)中,我们通常认为随机化确实可以并没有太大帮助,例如合理的硬度假设意味着PRG可以代替随机化。 现在,对于PP来说,先验性的是,即使一个“完美的” PRG都将暗示完全去随机化,因为自然的去随机化将对所有多项式可能的种子运行PRG输出的原始算法并获得多数表决,这一点尚无定论。 。尚不清楚在PP计算中获得多数表决是否可以在PP本身中完成。但是,Fortnow和Reingold的一篇论文显示,PP在真值表归约条件下被关闭(扩展了PP在交叉路口被关闭的令人惊讶的结果),这似乎足以进行多数表决。 那么,这里的问题是什么?Toda,Fortnow-Reingold和所有基于PRG的非随机化似乎都相对化了,因此就意味着对于存在适当PRG的每个预言者,PP中的PH都相对。因此,对于所有PP不包含PH的预言(例如,来自Minski&Papert,Beigel或Vereshchagin 的预言),PP的PRG不存在。特别是,这意味着对于这些预言机,EXP中没有适当的硬功能(否则将存在类似NW-IW的PRG)。从积极的一面看,这意味着在每个预言结果的某个地方都隐藏了(近似)EXP的(非均匀)PP算法。这很奇怪,因为所有这些oracle结果似乎都依赖于新的PP 下限(用于阈值电路),并且在他们的甲骨文构建机制中很简单,所以我看不到PP皮革的上限在哪里。也许这个上限通常可以显示(非均匀的)PP可以计算(或至少对某些EXP产生偏差)?这样的事情至少不会给EXP的CH模拟吗? 因此,我想我的问题有两个:(1)这种推理链是否有意义?(2)如果是这样,那么有人可以“发现” PP的隐含上限吗? 亚伦·斯特林(Aaron Sterling)编辑:将其撞到首页并添加赏金。这是我最喜欢的问题之一,但仍然没有答案。

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令人惊讶的问题计数算法
存在一些计数问题,其中涉及对许多事物进行指数计数(相对于输入的大小),但是却具有令人惊讶的多项式时间精确确定性算法。示例包括: 在平面图中计算完美匹配(FKT算法),这是全息算法如何工作的基础。 计算图中的生成树(通过基尔霍夫矩阵树定理)。 这两个示例中的关键步骤是减少计数问题,从而计算出某个矩阵的行列式。当然,行列式本身就是指数式许多事物的总和,但令人惊讶地可以在多项式时间内计算。 我的问题是:是否有已知的“令人惊讶的高效”精确和确定性算法可以计算问题,而不会减少计算行列式?

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我们知道,多项式层级(即NP和共NP)的第一级是在PP,以及。我们也知道,从户田定理即P ^ h ⊆ P P P。PP⊆PSPACEPP⊆PSPACEPP \subseteq PSPACEPH⊆PPPPH⊆PPPPH \subseteq P^{PP} PH⊆PPPH⊆PPPH \subseteq PPPPPPPPPPPPPPPPPPH⊈PPPH⊈PPPH \nsubseteq PPPP⊈PHPP⊈PHPP \nsubseteq PH 这个问题很简单,但是我没有找到解决它的资源。 在学习更多有关该主题的知识之前,我问过这个与数学溢出相关但不那么具体的问题。 这里是一个略微相关的(但不同)的问题:是?coNP#P=NP#P=P#PcoNP#P=NP#P=P#PcoNP^{\#P}=NP^{\#P}=P^{\#P} 更新:在这里看看Noam Nisan的问题:有关PP中PH的更多信息?

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计算整数的因数有多难?
给定长度为n位的整数,输出N的素因数(或可替代的因数)有多难?NNNnnnNNN 如果我们知道的素因式分解,那么这将很容易。但是,如果我们知道素因子的数量或一般因子的数量,则不清楚如何找到实际的素因子分解。NNN 研究这个问题了吗?是否有已知的算法可以解决这个问题而没有找到素因数分解? 这个问题是由好奇心引起的,部分原因是由数学SE问题引起的。

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什么时候“ X是NP完全”暗示“ #X是#P完全”?
让表示一个(决定)问题,NP,让#分别表示其计数版本。XXXXXX 在什么条件下知道“ X是NP完全” “ #X是#P完全”?⟹⟹\implies 当然,简约还原的存在就是这样的条件之一,但这是显而易见的,也是我所知道的唯一这样的条件。最终目标是表明不需要任何条件。 正式地说,一个应与计数问题#开始通过函数定义的,然后定义决策问题对输入字符串作为吗?XXXf:{0,1}∗→Nf:{0,1}∗→Nf : \{0,1\}^* \to \mathbb{N}XXXsssf(s)≠0f(s)≠0f(s) \ne 0

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多少DFA接受两个给定的字符串?
固定整数和字母。将定义为具有起始状态1的个状态上所有有限状态自动机的集合。我们正在考虑所有 DFA(不仅是连接的,最小的或非退化的)。因此,。Σ = { 0 ,1 } d ˚F 甲(Ñ )ñ | D F A (n )| = n 2 n 2 nnnnΣ={0,1}Σ={0,1}\Sigma=\{0,1\}DFA(n)DFA(n)DFA(n)nnn|DFA(n)|=n2n2n|DFA(n)|=n2n2n|DFA(n)| = n^{2n}2^n 现在考虑两个串,并确定是的元素的数量该接受两个和。 ķ (X ,ÿ )d ˚F 甲(Ñ )x,y∈Σ∗x,y∈Σ∗x,y\in\Sigma^*K(x,y)K(x,y)K(x,y)DFA(n)DFA(n)DFA(n) ÿxxxyyy 问题:计算的复杂度是多少?K(x,y)K(x,y)K(x,y) 这个问题对机器学习有影响。 编辑:现在有一个悬赏在这个问题上,我想在公式上要更精确一点。对于,令为自动机的集合,如上所定义。对于,定义是自动机的数目该接受两个和。问题:可以在时间计算吗?d ˚F 甲(Ñ )ñ 2 Ñ 2 Ñ X ,ÿ ∈ { 0 ,1 …

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#P = FP的后果
#P = FP的后果是什么? 我对实践和理论上的结果都很感兴趣。 从实践的角度来看,我对人工智能的后果特别感兴趣。 指向论文或书籍的指针非常受欢迎。 请不要说#P = FP意味着P = NP,我已经知道了。另外,请不要说“如果算法在时间运行,不会有实际的后果,其中是宇宙中的电子数”Ω(nα)Ω(nα)\Omega(n^{\alpha})αα\alpha:让我假设,如果存在一个针对#P完全问题的确定性多项式时间算法,其运行时间为“ clement”(例如)。O(n2)O(n2)O(n^2)

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什么时候放松辛苦?
假设我们通过按以下方式对加权的着色进行计数来缓解对正确的着色进行计数的问题:每种正确的着色的权重为1,每种不正确的着色的权重为,其中c是一些常数,而v是具有相同颜色的端点的边数。当c变为0时,这减少了对正确着色的计数,这对于许多图形来说都是很难的。当c为1时,每种颜色都具有相同的权重,问题很简单。当图的邻接矩阵乘以− log (c )/ 2时,光谱半径小于1 − ϵcvcvc^vcccvvvccc−log(c)/2−log⁡(c)/2-\log(c)/21−ϵ1−ϵ1-\epsilon,该和可以通过具有收敛保证的信念传播来近似,因此在实践中很容易。从理论上讲也很容易,因为特定的计算树会表现出相关性的衰减,因此允许采用多项式时间算法来保证近似值-Tetali,(2007年) 我的问题是-图形的其他哪些属性使本地算法难以解决此问题?从某种意义上讲,只能解决一小部分的问题。ccc 编辑09/23:到目前为止,针对此类问题,我遇到了两种确定性多项式逼近算法(Weitz的STOC2006论文和Gamarnik的“腔扩展”方法用于近似计数的派生方法),并且这两种方法都取决于自相关的分支因子。避免在图表上走动。光谱半径出现是因为它是此分支因子的上限。问题是-这是一个不错的估计吗?我们是否可以有一系列图,其中自我规避步行的分支因子是有界的,而常规步行的分支因子却是无界的? 编辑10/06:艾伦·斯莱(FOCS 2010)的这篇论文似乎很有意义……结果表明,自我规避行走的无限树的分支因子正好抓住了计数变得困难的点。 编辑10/31:Alan Sokal猜想(“多元Tutte多项式”的第42 页),在色多项式的无零区域的半径上存在一个上限,该上限在maxmaxflow上呈线性(最大st流在所有对s,t)。这似乎很重要,因为随着正确着色的数量接近0,就会出现远程关联。

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计算允许完美匹配的诱导子图的计算复杂度
给定一个无向无权图G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)和偶整数,什么是计数顶点集的计算复杂度使得和的子图限制的顶点集承认完美匹配?复杂度#P是否完整?这个问题有参考吗?小号⊆ V | S |kkkS⊆VS⊆VS\subseteq V|S|=k|S|=k|S|=kGGGSSS 请注意,对于常数,问题当然很容易,kkk因为这样大小为所有子图kkk都可以在时间。还要注意,问题与计算完美匹配的数量不同。原因是一组允许完美匹配的顶点可能具有多个完美匹配。(|V|k)(|V|k){|V| \choose k} 解决问题的另一种方法如下。如果匹配与个顶点匹配,则称为匹配。两个匹配数和如果通过匹配的顶点的集合是``顶点设定非不变‘’和是不同的。我们要计算顶点集不变匹配的总数。ķ 中号中号“中号中号' ķkkkkkkMMMM′M′M'MMMM′M′M'kķk

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是否有直接/自然的减少来计算使用永久性的非二分式完美匹配?
计算二部图中完美匹配的数量可立即减少以计算永久性。由于在非二分图中找到了完美的匹配是在NP中,因此存在从非二分图到永久图的某种归约,但它可能涉及讨厌的多项式爆炸,方法是使用Cook的归约法转换为SAT,然后使用Valiant定理将其归结为常驻。 从非二分图到矩阵其中的有效自然归约对于实际实现通过使用来计算完美匹配是有用的现有的,经过高度优化的库,用于计算永久物。G A = f (G )烫发(A )= Φ (G )FffGGGA = f(G )A=f(G)A = f(G)烫发(A )= Φ (G )perm⁡(A)=Φ(G)\operatorname{perm}(A) = \Phi(G) 更新:我为一个答案添加了赏金,其中包括一个有效计算的函数,该函数可以将任意图带到二等图,该图具有相同的完全匹配数,并且顶点不超过个。H O (n 2)GGGHHHØ (ñ2)O(n2)O(n^2)


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素数计数功能#P是否完成?
召回π(n)π(n)\pi(n)的素数的数量≤n≤n\le n是质数计算函数。通过“ P中的PRIMES”计算π(n)π(n)\pi(n)在#P中。问题#P是否完成?或者,也许有一个复杂的原因认为此问题不是#P完全的? PS:我意识到这有点天真,因为必须有人研究了这个问题并证明/反对/猜想了这一点,但是我似乎无法在文献中找到答案。看到如果您好奇我为什么在这里,此处。

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硬计数版本容易出现问题
维基百科提供了一些问题的示例,其中计数版本比较难,而决策版本比较容易。其中一些正在计算完美匹配,计算出 -SAT的解数和拓扑排序的数。222 还有其他重要的类别吗(例如格子,树木,数论等的例子)?是否存在此类问题的纲要? 中有许多类型的问题具有硬计数版本。#PPPP#P#P\#P 中是否存在一个比一般的二分法完全匹配更完全理解或更简单的自然问题的版本(请提供有关为什么更简单的详细信息,例如可证明地处于层次结构的最低级别等) (例如数论,晶格)或至少对于特定的简单二部图,其计数版本为 -hard?N C #PPPPñCNCNC#P#P\#P 来自点阵,多边形,点计数,数论的示例将不胜感激。

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硬度相变的例子
假设我们有一个用实值参数p参数化的问题,对于某些值p 0,p 1,当时“容易”解决,而当p = p 1时“难” 解决。p = p0p=p0p=p_0p = p1个p=p1p=p_1p0p0p_0p1个p1p_1 一个示例是计算图形上的旋转配置。计数加权的正确着色,独立集合,欧拉子图分别对应于硬核,Potts和Ising模型的分区函数,对于“高温”来说很容易近似,对于“低温”来说很难。对于简单的MCMC,硬度相变对应于混合时间从多项式跃迁到指数的点(Martineli,2006)。 另一个例子是概率模型的推论。我们通过采取“简化”给定的模型,p它结合了“所有的变量是独立的”模型。对于p = 1,这个问题微不足道;对于p = 0,这是棘手的,而硬度阈值介于两者之间。对于最流行的推理方法,当该方法无法收敛时,问题将变得棘手,并且问题发生的时间点对应于某个吉布斯分布的相变(从物理意义上来说)(Tatikonda,2002)。1 − p1−p1-ppppp = 1p=1p=1p = 0p=0p=0 当某些连续参数发生变化时,硬度“跳跃”的其他有趣示例是什么? 动机:查看除图形类型或逻辑类型以外的另一种硬度“维”的示例

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#P中的两个功能除法
让是一个整数值的函数,使得2 ˚F是在#P。这是否表示˚F是#P?是否有理由相信这不太可能永远成立?我应该知道的任何参考吗?FFF2F2F2F#P#P\#PFFF#P#P\#P 出人意料的是,这种情况下想出了(有更大的常数),对于一个功能为其˚F ∈ ?#P是一个古老的公开问题。 FFFF∈?#PF∈?#PF \in? \#P 注意:我知道论文M. Ogiwara,L. Hemachandra,关于可行的闭合特性的复杂性理论,其中研究了相关的二分法问题(参见Thm 3.13)。但是,他们的问题有所不同,因为他们通过发言权操作员定义了所有功能的划分。这样一来,他们就可以快速减少奇偶校验问题。

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