Questions tagged «counting-complexity»

计算解决方案的数量有多难？

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快速计算生成树的数量
t(G)t(G)t(G)GGGnnnt(G)t(G)t(G)O(n3)O(n3)O(n^3)QGJ11n2det(J+Q)1n2det(J+Q)\frac{1}{n^2} \det(J + Q)QQQGGGJJJ111 我想知道是否有某种方法可以更快地计算。（是的，用于计算行列式的算法比算法快，但我对某些新方法感兴趣。）O （n 3）t(G)t(G)t(G)O(n3)O(n3)O(n^3) 它也有兴趣考虑特殊的图形族（平面的，也许？）。 例如，对于循环图，可以在计算经由身份算术运算，其中是的拉普拉斯矩阵的非零特征值，可以快速地为循环图计算。（将第一行表示为多项式，然后在第个单位根上进行计算-此步骤使用离散傅立叶变换，可以用算术运算完成。）O （n lg n ）t （G ）= 1t(G)t(G)t(G)O(nlgn)O(nlg⁡n)O(n \lg n)λ我ģÑø（ÑLGÑ）t(G)=1nλ1⋯λn−1t(G)=1nλ1⋯λn−1t(G) = \frac{1}{n} \lambda_1 \dotsm \lambda_{n-1}λiλi\lambda_iGGGnnnO(nlgn)O(nlg⁡n)O(n \lg n) 非常感谢你！
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随机2-SAT的计数复杂度是多少？
＃2-SAT随机实例的复杂度如何随子句密度变化而做过任何工作吗？即：随着子句密度的变化，对随机生成的2-SAT实例的满意解进行计数的难度如何变化？特别是，是否存在涉及临界阈值的严格结果？ 当然，因为 2-SAT ∈ P，典型的计数复杂部分取决于与一个实例是可满足的概率; 实例，其子句密度高于用于SAT / UNSAT临界阈值通常将具有一个简单的计数复杂性，答案是“ 零 ”几乎可以肯定，在极限Ñ 。但是，对于密度接近或刚好大于有限n的临界阈值的2-SAT实例，计数复杂度可能仍然很容易：可能会希望一个可满足的实例只有少量解，这可能很容易列举由于约束的紧密性。→ ∞→∞\to \infty 对于ķ -SAT与ķ ≥3，确定的实例是否可满足或不可满足的困难 似乎是接近作为一个分离的尝试从UNSAT相的SAT相位，部分地临界阈值最高，以确定是否存在至少一个令人满意的解决方案。对于＃2-SAT，困难不在于确定是否存在至少一种解决方案。因此，应该预期困难可能在于确定有意义但不大的可满足公式的解数 约束的数量-也就是说，有足够的约束来引起变量之间的非平凡依赖关系，但又不足以过度确定可能的分配。
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＃2-SAT的＃P-完全子家族是什么？
精简版。 实际上，证明＃2-SAT是# P-完全的原始证据表明＃2-SAT的那些实例既是单调的（不涉及任何变量的求反）又是二分的（由图2中的子句形成的图）变量是二部图）是 #P -hard。因此，两个特殊情况＃2-MONOTONE-SAT和＃2-BIPARTITE-SAT是#P困难的。是否还有其他特殊情况可以用公式的“自然”特性来表征，这些特殊情况也是#P- Hard？ 长版。 问题＃2-SAT是计算的任务-为一个布尔公式由多个条款的结合，其中每个子句是两个文字的析取的X Ĵ或ˉ X Ĵ -布尔串的数目X ∈ { 0 ，1 } n使得ϕ （x ）= 1。找出是否存在这样的x很容易；但计算解决方案的数量通常是#P -complete，如Valiant在ϕϕ\phixjxjx_jx¯jx¯j\bar x_jx∈{0,1}nx∈{0,1}nx \in \{0,1\}^nϕ(x)=1ϕ(x)=1\phi(x) = 1xxx枚举和可靠性问题的复杂性，SIAM J. Comput。，8，第410-421页。 特别是对于＃2-SAT，Valiant实际显示的是通过对二分图中的匹配项（包括不完全匹配项）进行计数，从而减少了＃2-SAT，这导致了具有非常特殊结构的＃2-SAT实例， 如下。 首先，说明该单调问题是等价的，通过取代，在其中每个变量的问题，要么X Ĵ在式发生φ或ˉ X Ĵ确实而不是两者。特别地，“单调递减”的问题，其中仅所述否定ˉ X Ĵ发生为每个变量是完全一样硬的情况下，单调。xjxjx_jxjxjx_jϕϕ\phix¯jx¯j\bar x_jx¯jx¯j\bar x_j 对于具有m条边的任何图，我们可以通过为每个边分配变量x e来构造与匹配（不共享任何顶点的边集合）相对应的单调递减2-SAT公式它是否包含在边缘集中；一组的属性中号⊆ Ë作为一个匹配等同于入射矢量X = χ 中号满足CNF式φ其条款由下式给出（ˉ X ë ∨ ˉ X …
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在一般图中计算简单 -路径数的近似值
有人告诉我，有一些好的多项式时间算法可以近似从给定的起始点到给定的终止点有向图中的简单路径数。有谁知道在这个问题上有很好的参考？sssttt 背景：在一般图形中计算路径的确切数量是＃P-完全的，但是对于该问题可能存在多项式时间近似值。我对随机近似值特别感兴趣。 提前致谢。
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在有向图中计算简单路径的复杂性
让是有向图（不一定是DAG），并让小号，吨∈ V （G ^ ）。计算G中简单s - t路径的数量有何复杂性？ GGGs,t∈V(G)s,t∈V(G)s,t \in V(G) s−ts−ts-tGGG 我希望这个问题是＃ -complete但一直没能找到一个确切的参考。 PP{\mathsf P} 还要注意，这里和其他地方已经正确回答了许多类似的问题，但不是这个确切的问题-强调我对计算步行和/或无向图不感兴趣（在第一种情况下，变体在，在其他＃中P-硬）。PP{\mathsf P}PP{\mathsf P}
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计算图的边缘覆盖数的复杂性
一个边缘盖是一个图的边的子集，使得该图的每个顶点是邻近所述盖的至少一个边缘。以下两篇文章说，计数边缘盖是#P -complete：计数边缘覆盖一个简单FPTAS和路径图的生成边缘覆盖。但是，除非我错过了任何事情，否则他们不会为该主张提供参考或证明。（第一篇论文的参考文献3很有希望，但我也没有找到我想要的东西。） 我在哪里可以找到参考或证据，即对图形的边缘覆盖数进行计数是#P完全的？
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非负整数中的线性二阶方程方程
关于非负整数中的线性双色子方程的NP完全问题，我几乎找不到信息。也就是说，存在非负X1个，X2，。。。，XñX1个，X2，。。。，Xñx_1,x_2, ... , x_n到方程，其中所有常数都是正数？我所知道的唯一值得注意的问题是Schrijver的线性和整数规划理论。即便如此，这也是一个相当简短的讨论。一种1个X1个+ 一个2X2+。。。+ 一个ñXñ= b一种1个X1个+一种2X2+。。。+一种ñXñ=ba_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n = b 因此，非常感谢您可以提供有关此问题的任何信息或参考。 我主要关心两个问题： 它完全是NP-Complete吗？ 计算解决方案数量＃P-hard甚至＃P-complete的相关问题吗？
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图分解以结合顶点标记的“局部”功能
假设我们要找到 或 最大X Π 我Ĵ ∈ È ˚F（X我，XĴ）∑X∏我Ĵ ∈ ËF（x一世，XĴ）∑X∏一世Ĵ∈ËF（X一世，XĴ）\sum_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)最大值X∏我Ĵ ∈ ËF（x一世，XĴ）最大值X∏一世Ĵ∈ËF（X一世，XĴ）\max_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j) 如果对V的所有标记取max或sum VVV，则对图G = \ {V，E \}的所有边E取乘积，并且f是任意函数。对于有界树宽图，容易找到此数量；对于平面图，通常很难找到此数量。适当着色的数量，最大独立集和欧拉子图的数量是上述问题的特殊情况。我对此类问题的多项式时间逼近方案感兴趣，尤其是对于平面图。哪些图分解会有用？ËËEG = { V，E}G={V，Ë}G=\{V,E\}FFf 编辑11/1：作为示例，我想知道分解可能类似于统计物理学的聚类扩展（即Mayer扩展）。当FFf表示弱相互作用时，此类展开收敛，这意味着您可以使用ķķk项来达到给定的精度，而不管图形的大小。这是否意味着该数量存在PTAS？ 更新02/11/2011 高温膨胀将分区函数Z重写žžZ为项的总和，其中高阶项依赖于高阶相互作用。当“相关性衰减”时，高阶项衰减得足够快，因此几乎所有žžZ的质量都包含在有限数量的低阶项中。 例如，对于Ising模型，请考虑其分区函数的以下表达式 ž= ∑X ∈ X经验值Ĵ∑我Ĵ ∈ ËX一世XĴ= c ∑一∈ Ç（谭Ĵ）| A |ž=∑X∈X经验值⁡Ĵ∑一世Ĵ∈ËX一世XĴ=C∑一种∈C（谭⁡Ĵ）|一种|Z=\sum_\mathbf{x\in \mathcal{X}} \exp J \sum_{ij \in E} …
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能否有效地对多边形图中的顶点邻居进行均匀采样？
我有一个多面体PPP由下式定义{ X ：甲X ≤ b ，X ≥ 0 }{x:Ax≤b,x≥0}\{ x : Ax \leq b, x \geq 0\}。 问题：给定顶点vvv为PPP，是否存在多项式时间算法可从P的图中的vvv的邻居中均匀采样？（维度上的多项式，方程式的数量以及b的表示形式。我可以假设方程式的数量在维度上是多项式的。）PPPbbb 更新：我认为我能够证明这是NP难的，请参阅我的答案来解释该论点。（用ñPNPNP -hard表示，多项式时间算法将证明[R P= NPRP=NPRP = NP ...不确定此处使用的是正确的术语。） 更新2：有两行ñPNPNP硬度证明（给出了正确的组合多义位），我找到了Khachiyan的文章。请参阅答案以获取描述和链接。:-D 一个等效的问题： 彼得·索尔（Peter Shor）在评论中指出，这个问题等同于我们是否可以从一个给定的多边形的顶点均匀采样的问题。（我认为等价性是这样的：在一个方向上，我们可以从具有顶点v的多面体PPP转到v，P / v处的顶点图，对P / v的顶点进行采样就相当于对P / v的顶点进行采样v上P。在另一个方向上，我们可以从一个多面体去P到多面体Q一个更高维度的通过添加锥顶点v和基PvvvvvvP/ vP/vP/vP/ vP/vP/vvvvPPPPPPQQQvvvPPP。然后在Q中对vvv的邻居进行采样等效于对P的顶点进行采样。）QQQPPP 之前已经问过这个问题的提法：https : //mathoverflow.net/questions/319930/sampling-uniformly-from-the-vertices-of-a-polytope
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对均匀一致的满意分配进行抽样
问题：给定通过一个布尔电路表示，产生一个均匀的随机X ∈ { 0 ，1 } Ñ使得φ （X ）= 1（或输出⊥如果没有这样的x存在）。 φ ：{ 0 ，1 }ñ→ { 0 ，1 }ϕ：{0，1个}ñ→{0，1个}\phi : \{0,1\}^n \to \{0,1\}X ∈ { 0 ，1 }ñX∈{0，1个}ñx \in \{0,1\}^nϕ （x ）= 1ϕ（X）=1个\phi(x)=1⊥⊥\perpXXx 显然，这个问题很难解决。我的问题是这个问题是否也是“ NP-easy”： 问题：是否存在一种算法可以解决上述在中的时间多项式和ϕ可以访问SAT oracle 的电路大小的问题？ ññnϕϕ\phi 另外，是否有一个多项式时间算法假设NP = P？ 显然，可以访问#SAT甲骨文就足够了，因此复杂性在NP和#P之间。 我觉得应该早已研究过此方法，但在Google上找不到答案。 我知道如何使用Valiant-Vazirani定理的一个变体和/或近似计数来近似解决该问题（即，生成一个统计上接近统一的令人满意的赋值），但获得完全统一似乎是一个不同的问题。
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#P以上并计算搜索问题
我正在阅读有关八皇后问题的维基百科文章。据指出，尚无确切的解决方案公式。经过一番搜索，我找到了一篇名为“关于完整映射计数问题的难度”的论文。在本文中，存在一个问题，该问题最多显示与#queens一样困难，而问题超出#P。瞥见Wikipedia文章中详尽列出的#queen的数量，它们似乎超级指数化。 我想问一下，是否有该类的名称，或者总体上是否存在属于#P以上类的计数问题（当然，决定不属于PSPACE，因为这很明显）。 最后，我想问一下是否存在其他搜索问题的其他已知结果，例如在Sperner引理中找到一个三色点（PPAD完成）。
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函数的eta等效性是否可以与Haskell的seq操作兼容？
引理：假设等式我们有(\x -> ⊥) = ⊥ :: A -> B。 证明：⊥ = (\x -> ⊥ x)通过η等价，并(\x -> ⊥ x) = (\x -> ⊥)通过λ下的减少。 Haskell 2010报告第6.2节seq通过两个方程式指定了该函数： 序列:: a-> b-> b seq⊥b =⊥ seq ab = b，如果a≠⊥ 然后声明“因此，⊥与\ x-> not不同，因为seq可用于区分它们。” 我的问题是，这真的是定义的结果seq吗？ 隐含的说法似乎是seq将不可计算如果seq (\x -> ⊥) b = ⊥。但是我还不能证明这样的seq说法是没有争议的。在我看来，seq这既是单调的，又是连续的，这使它处于可计算的领域。 诸如seq之类的算法可能会通过枚举以starting开头的域来尝试搜索某些x位置f x ≠ ⊥而工作f。尽管这样的实现，即使有可能，一旦我们想要使seq多态成为现实，也会变得非常麻烦。 是否有证据证明不存在可计算seq的是标识(\x …
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Ben-Dor / Halevi对永久物的#P完全证明提出质疑
在Ben-Dor / Halevi [1]的论文中，给出了另一个证明，证明永久性是 。在本文的后半部分，他们显示归约链 IntPerm ∝ NoNegPerm ∝ 2PowersPerm ∝ 0 / 1-Perm， 而永久值沿链保留。由于3SAT式satiesfying指配的数量Φ可以从永久值来获得，它足以计算永久的最后的0 / 1 -矩阵。到目前为止，一切都很好。#P#P\#PIntPerm∝NoNegPerm∝2PowersPerm∝0/1-PermIntPerm∝NoNegPerm∝2PowersPerm∝0/1-Perm\begin{equation} \text{IntPerm} \propto \text{NoNegPerm} \propto \text{2PowersPerm} \propto \text{0/1-Perm} \end{equation}ΦΦ\Phi0/10/10/1 然而，众所周知的是，永久一个的 -矩阵甲等于完美匹配的在二分双层盖的数目ģ，即，从矩阵的图表（0 阿甲吨 0）。如果G证明是平面的，则可以有效地计算此数字（使用Kastelyens算法）。0/10/10/1AA\text{A}GGG(0AtA0)(0AAt0)\begin{pmatrix} 0 & \text{A} \\ \text{A}^t & 0 \end{pmatrix}GGG 因此，总而言之，如果最终图G是平面的，则有人可以计算布尔公式的满意分配数。ΦΦ\PhiGGG 由于的嵌入在很大程度上取决于公式Φ，因此希望存在某些公式，这些公式更经常导致平面二分覆盖。有谁知道是否曾经研究过G平面化的可能性有多大？GGGΦΦ\PhiGGG 由于计算满足需求的解决方案是，因此可以肯定，这些图几乎总是非平面的，但是我找不到关于此主题的任何提示。#P#P\#P [1] Amir Ben-Dor和Shai Halevi。零一永久性是#p完全的，更简单的证明。在第二届以色列计算系统理论研讨会上，第108-117页，1993年。以色列纳塔尼亚。
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