计算三次哈密顿图中的哈密顿循环数？

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这是难的找到三次Hamilton图周期最长的一个常数因子近似。三次哈密顿图具有至少两个哈密顿周期。 $NP$

三次哈密顿图中的哈密顿循环数最著名的上限和下限是什么？给定三次哈密顿图，找到哈密顿循环数的复杂度是多少？＃难吗？ $P$

cc.complexity-theory counting-complexity

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如下所示，对3个正则哈密顿图中的哈密顿回路进行计数是＃P-完全的。

证明草图。#P中的成员资格很微不足道，因此我们仅显示#P硬度。

Liśkiewicz，Ogihara和Toda的第3节[LOT03]显示，对3规则（实际上同时为平面）图中的哈密顿回路进行计数是#P完全的。此外，它们从＃3SAT映射可满足的3CNF公式简化为哈密顿图。因此，您可以通过首先将一个平凡的解添加到给定的3CNF公式中，然后通过使用[LOT03]的减少将其简化为计数汉密尔顿电路，从而将＃3SAT简化为3正则汉密尔顿图中的汉密尔顿电路计数。 QED。

[LOT03] MaciejLiśkiewicz，Mitsunori Ogihara和Seinosuke Toda。在二维网格和超立方体的子图中计算自我避免行走的复杂性。 理论计算机科学，304（1-3）：129-156，2003年7月 http://dx.doi.org/10.1016/S0304-3975(03)00080-X

— 伊藤刚
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好答案。您是否知道三次哈密顿图中的哈密顿循环数的上限或下限？

— Mohammad Al-Turkistany

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@turkistany：您可以通过将上述归约式应用于具有成倍指数分配的3CNF公式，从而生成具有成倍指数哈密顿回路的3正则图（请参见[LOT03]推论6和“ -reductions”），尽管我怀疑有一个更简单的直接证明。除了2（您已经在问题中提到的）或2最佳的证明，我不知道任何下界。

\leq_{r-shift}^{p}

$\le^p_{\text{r-shift}}$

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

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在我的论文“三次图的旅行商问题”（J.图算法和应用11（1）：61-81，2007）中，我证明了哈密顿循环数的上限，可以将边界提高到，并找到一系列恰好具有的图，这表明，如果为真，则猜想的边界将是紧密的。Heidi Gebauer（“有界度图中的汉密尔顿环数”，ANALCO 2008）将上限提高到。 $2^{3n/8}$ $2^{n/3}$ $2^{n/3}$ $1.276^n$

如果允许多重图，则一个在单键和双键之间交替的循环具有哈密顿循环，这是紧密的。 $2^{n/2}$

— 大卫·埃普斯坦
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感谢David的回答，我希望我可以接受多个答案。

— Mohammad Al-Turkistany 2010年

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一些图恰好具有三个哈密顿回路：

http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/jgt.3190060218/abstract

如果从以正好包含三个哈密顿回路的四面体的平面图开始，并通过截断单个顶点来创建新的平面三连通图，则将得到一个具有正好三个哈密顿回路的新图。如果一个人一次继续截断一个顶点，则可以得到一组恰好具有三个哈密顿回路的图。

附加评论：

关于除周期以外的哪些图形具有一个完整的哈密顿回路，还有一些工作要做：

http://www3.interscience.wiley.com/journal/113386600/abstract

一篇关于特殊图形中的哈密顿回路的非常不错的调查论文，其中有一个部分介绍了哈密顿回路的数目，并纠正了上述论文中的一些问题：

http://ajc.maths.uq.edu.au/pdf/20/ajc-v20-p111.pdf

— 约瑟夫·马尔科维奇
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