验证SAT的独特解决方案

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考虑以下问题：给定一个CNF公式和一个满足该公式的赋值，该公式是否还有另一个令人满意的赋值？

这个问题的复杂性是什么？（最确定的是在NP中，但是它也是NP难的吗？）

如果您没有得到分配，而只是想确定公式是否具有唯一的令人满意的分配，该怎么办？

谢谢。

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您的第一个问题通常是家庭作业。提示：给定任何公式F，设计一个公式F'，使全零值分配简单地满足它，并且存在第二个令人满意的赋值F'（如果F是可满足的）。

— 瑞安·威廉姆斯

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@ Hsien-Chih Chang，在重新标记之前，我们在首页上提供了Oded的名字，重新标记不是紧迫的事情，如果他的名字在那儿停留更长时间会很好。:)

— Kaveh

1

@Kaveh：糟糕，抱歉。我想我会以某种方式假设他会留下来并不断提供越来越多的好答案，因此他的名字会经常出现在主页上：）

— 张显之张显之2011年

@许贤智，我也希望如此。:)

— Kaveh

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通过转换CNF公式以添加一个平凡的解，很容易将确定给定CNF公式是否具有除给定公式之外的令人满意的赋值的问题显示为NP完全。该问题在[YS03]中称为“ SAT的另一个解决方案问题（ASP）”，用于系统地证明许多其他问题的ASP（的决策版本）也是NP完全的。

决定给定的CNF公式是否具有唯一的令人满意的赋值的问题（因此，如果该公式没有令人满意的赋值或一个以上的令人满意的赋值，您必须回答“否”）是美国完成的。美国包含UP和coNP。

参考文献

[YS03] Yato高幸和Seta Takahiro。寻找另一个解决方案的复杂性和完整性及其在拼图中的应用。IEICE关于电子，通信和计算机科学基础的交易，E86-A（5）：1052-1060，2003年5月。

编辑：此答案的早期版本（修订版1）包含决策版本和搜索版本之间的混淆。已修复。

— 伊藤刚
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请注意：“另一个解决问题”的NP完备性是民间文学艺术，早在2003年就已为人所知。（也许有1970年代的参考文献，但证明如此简单，我对此表示怀疑。）

— Ryan Williams

@Ryan：谢谢你的来信。我编辑了答案，以使与[YS03]的关系更加清晰。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

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我回想起Yoram Moses和我本人（根据某些应用）在1980年代中期研究了这个问题，发现对于许多自然的NPC问题，寻找第二个/替代解决方案（或确定是否存在）的问题是NPC。然后，我们发现这是已知的，但我不记得该裁判，因此现在找不到一个（即早于1980年代中期的裁判）。但是我敢肯定我确实记得上面的内容。

只是对瑞安的评论。定理可以作为当前课程的练习给出，这一事实并不会使它不那么吸引人。被发现时，它应该已经发表在有适当标题的论文中。

奥德·戈德瑞希（Oded Goldreich）

— 奥德·戈德瑞希（Oded Goldreich）
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嘿，欢迎光临！很高兴在这里见到您：)

— MS Dousti

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在这里，我写了以下论文的摘录：

LG的Valiant和VV的Vazirani，1986年。NP就像检测独特的解决方案一样容易。理论。计算科学 47，1（1986年11月），85-93。DOI = http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(86)90135-0

对于每个已知的NP完全问题，其实例的解决方案数量在很大的范围内变化，从零到指数级增加。因此很自然地问，NP完全问题的固有难解性是否是由这种广泛的差异引起的。我们使用随机多项式时间可约性的概念对这个问题给出否定的答案。我们表明，在随机归约的情况下，区分具有零个或一个解的SAT实例或寻找具有唯一解的SAT实例的解的问题与SAT一样困难。

我还建议查看相关论文：

Beigel，R.，Buhrman，H。和Fortnow，L。1998。NP可能不像检测独特的解决方案那么容易。在《计算机理论的第三十届ACM年度研讨会论文集》（美国德克萨斯州达拉斯，1998年5月24日至26日）中。STOC '98。ACM，纽约，纽约，203-208。DOI = http://doi.acm.org/10.1145/276698.276737

— 道斯蒂女士
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$DP=\{(L_1 ∩ L_2)| L_1 \in NP, L_2\in CoNP\}$

Andreas Blass和Yuri Gurevich，关于独特的可满足性问题，

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
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要点：第二个问题不是承诺问题。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

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我已经意识到并修复了它，但是还是感谢您发现它！

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

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顺便说一句，我没有从您的答案中复制任何内容，因此我不知道您的以下评论是什么：“当您从其他答案中复制时，请指明。”我从我的另一篇帖子中复制了我的答案参考。在MathOverflow（mathoverflow.net/questions/31251/…）上，但是我不认为您是指此。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

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可以在本文中找到对UNIQUE SAT和ANOTHER SAT这两个问题的解决方案，其中包括对复杂性的完整分类

L. Juban：针对广义唯一可满足性问题的二分法定理 http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F3-540-48321-7_27

— 米基·赫尔曼（Miki Hermann）
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