计算无向图中的简单路径数

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如何确定无向图中唯一唯一路径的数量？一定长度，或一定范围的可接受长度。

回想一下，简单路径是没有循环的路径，所以我说的是计算没有循环的路径数。

graph-theory co.combinatorics counting-complexity

— 瑞安
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这已经在mathoverflow上被问过：mathoverflow.net/questions/18603/…–

— 清单

5

实际上，mathoverflow的问题是关于查找所有路径，而不是对其进行计数。找到它们可能要困难得多。

— DCTLib 2013年

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除了答案中给出的参考文献外，一个琐碎的观察结果是，如果可以计算长度为的路径数，那么可以回答存在哈密顿路径的问题。因此最有可能不是P。–

n - 1

$n-1$

— Saeed

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有几种算法可以在时间中计算长度为的简单路径，这比强力（时间）好得多。参见例如Vassilevska和Williams，2009年。 $k$ $f(k)n^{k/2+O(1)}$ $O(n^k)$

— 安德烈亚斯（AndreasBjörklund）
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它是＃P-complete（Valiant，1979年），因此，如果您想要确切的答案，您不可能比蛮力好得多。Roberts和Kroese（2007）讨论了近似值。

B. Roberts和DP Kroese，“ 估计图中的 - 路径数 $s$ $t$ ”。图论算法与应用学报，11（1）：195-214，2007。

LG Valiant，“ 枚举的复杂性和可靠性问题 ”。SIAM Journal on Computing 8（3）：410-421，1979。

— 大卫·里奇比
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Roberts和Kroese的论文似乎没有给出近似的保证。是否有针对此问题的PTAS？

— Sasho Nikolov

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@SashoNikolov，似乎不太可能有任何合理的近似算法。给定

通过用大小为

的集团替换每个节点来从

获得

，其中

和

。对于长度的每个简单的路径

在

大致有

在路径

。所以如果

有一个

G = (V, E)

$G=(V,E)$

G^{'}

$G'$

G

$G$

N = n^{c}

$N=n^c$

n = | V |

$n=|V|$

c ≫ 1

$c\gg 1$

ℓ

$\ell$

G

$G$

(N!)^{ℓ}

$(N!)^\ell$

G^{'}

$G'$

G

$G$

哈密顿路径，在

中将至少有

左右的简单

路径，否则最多只有

简单的

路径。因此，应该很难在大约

的因数内近似

s - t

$s-t$

(N!)^{n}

$(N!)^{n}$

s - t

$s-t$

G^{'}

$G'$

(n - 1)! (N!)^{n - 1}

$(n-1)!(N!)^{n-1}$

s - t

$s-t$

。

N! / (n - 1)! ≫ n^{c - 1}!

$N!/(n-1)! \gg n^{c-1}!$

— Neal Young

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我想添加另一种近似算法，一种参数化的算法：对于固定的（或更精确地说， $\delta>0$ ），则可以计算一个的简单路径的数量的-近似，在任一无向或向图中，长度的在时间。 $\delta =\Omega(\frac{1}{poly(k)})$ $(1+\delta)$ $k$ $O^*(2^{O(k)})$

— RB
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