Questions tagged «graph-theory»

图论是对图,数学模型的研究,用于对对象之间的成对关系进行建模。

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树宽概念的由来
我今天的问题(像往常一样)有点愚蠢。但请您考虑一下。 我想知道树宽概念背后的起源和/或动机。我肯定知道FPT算法中使用了它,但是我不认为这就是定义此概念的原因。 我在Robin Thomas教授的课堂上写了关于这个主题的笔记笔记。我想我了解这个概念的一些应用(因为它将树的分离属性传递给分解的图),但是由于某种原因,我并不十分相信这个概念的产生是为了测量图的紧密度到树上。 我将努力使自己更加清楚(我不确定是否可以,如果问题不清楚,请告诉我)。我想知道在数学的其他分支中其他地方是否也存在类似的概念。我的猜测将是拓扑结构-但是由于缺乏背景,我什么也不能说。 我对此感到好奇的主要原因是,当我第一次阅读它的定义时,我不确定有人为什么会以及如何构想它以及达到什么目的。如果问题仍然不清楚,我将最终尝试以这种方式进行说明-让我们假装不存在树宽的概念。什么是离散设置的自然问题(或某些数学定理/概念的扩展)会导致人们将定义(如涉及的词)定义为树宽。

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图同构问题的拟多项式时间算法的结果
在图同构问题(GI)可以说是一个最好的已知候选NP-中间问题。最著名的算法是运行时间为2 O (√的次指数算法。众所周知,除非多项式层次崩溃,否则GI不是NP-完全的。2Ø (ñ 日志ñ√)2O(nlog⁡n)2^{O(\sqrt{n \log n})}NPNP\mathsf{NP} 拟多项式时间算法对图同构问题的复杂性理论后果是什么? GI的拟多项式时间算法会否驳斥复杂性理论中的任何著名猜想? 其他类似的问题,如锦标赛中的最小支配集问题,组同构问题和锦标赛同构问题,也具有拟多项式时间(QP)算法。后两个问题是可归因于GI的多项式时间。 我们可以有效地将“比赛中的最小支配集”问题减少到GI吗? 是否有任何排除GI对QP造成困难的猜想? 更新(2015-12-14):Babai已针对其GI的拟多项式时间算法发布了有关arXiv 的初步草案。 更新(2017年1月4日):鲍鲍伊缩回的权利要求,该算法是在拟多项式时间,根据新的分析的算法是在亚指数时间在2 n o (1 )内。expexp(O~(lgn−−−√))exp⁡exp⁡(O~(lg⁡n))\exp \exp(\tilde{O}(\sqrt{\lg n}))2no(1)2no(1)2^{n^{o(1)}} 更新(2017-01-09):Babai 恢复了准多项式时间索赔,以更有效的程序代替了违规程序。

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需要多少种不同的颜色来降低图表的选择能力?
如果对于将顶点映射到种颜色的每个函数有一个颜色分配,从而对于所有顶点,,则图是可选择的(也称为 -list- colorable,这样,对于所有边,。ķ ˚F ķ Ç v Ç (v )∈ ˚F (v )v 瓦特Ç (v )≠ Ç (瓦特)kkkkkkfffkkkcccvvvc(v)∈f(v)c(v)∈f(v)c(v)\in f(v)vwvwvwc(v)≠c(w)c(v)≠c(w)c(v)\ne c(w) 现在假设图不是可选择的。也就是说,存在从顶点到颜色的元组的函数,该函数没有有效的颜色分配。我想知道的是,总共需要多少种颜色?可以有多小?是否存在一个数字(与无关),这样可以保证我们找到仅使用不同颜色的不可着色的?ķ ˚F ķ Ç ∪ v ∈ ģ ˚F (v )Ñ (ķ )ģ ˚F Ñ (ķ )GGGkkkfffkkkccc∪v∈Gf(v)∪v∈Gf(v)\cup_{v\in G}f(v)N(k)N(k)N(k)GGGfffN(k)N(k)N(k) 与CS的相关性是,如果存在,我们可以在单指数时间内测试常数选择性(只需尝试f的所有\ binom {N(k)} {k} ^ n个选择,然后对于每个检查,检查它是否可以在时间k ^ nn ^ {O(1)}中着色),否则可能需要像n ^ {kn}这样更快地生长的东西。k …

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暗示四色定理的猜想
四色定理(4CT)指出每个平面图都是四个可着色的。[Appel,Haken 1976]和[Robertson,Sanders,Seymour,Thomas 1997]给出了两个证明。这两个证明都是计算机辅助的,非常令人生畏。 图论中有几个推测暗示4CT。解决这些猜想可能需要更好地理解4CT的证明。这是一个这样的猜想: 猜想:令为平面图,令C为一组颜色,而f :C → C为定点自由对合。让大号= (大号v:v ∈ V (G ^ ))是这样的GGGCCCF:C→ Cf:C→Cf : C \rightarrow CL = (Lv:v ∈ V(G ))L=(Lv:v∈V(G))L = (L_v : v \in V(G)) 针对所有 v ∈ V和| 大号v| ≥4|Lv|≥4|L_v| \geq 4v ∈ Vv∈Vv \in V 如果然后˚F (α )∈ 大号v对于所有v ∈ V,对于所有的α ∈ Ç。α …


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负切边最大切割
G=(V,E,w)G=(V,E,w)G = (V, E, w)w:E→Rw:E→Rw:E\rightarrow \mathbb{R}argmaxS⊂V∑(u,v)∈E:u∈S,v∉Sw(u,v)arg⁡maxS⊂V∑(u,v)∈E:u∈S,v∉Sw(u,v)\arg\max_{S \subset V} \sum_{(u,v) \in E : u \in S, v \not \in S}w(u,v)Ë ∈ Ëw(e)≥0w(e)≥0w(e) \geq 0e∈Ee∈Ee \in E 挑选顶点的随机子集。SSS 在顶点上选择一个顺序,然后贪婪地将每个顶点放置在或以最大化到目前为止切割的边小号ˉ 小号vvvSSSS¯S¯\bar{S} 进行局部改进:如果SSS中有任何顶点可以移动到S¯S¯\bar{S}以增加切割(反之亦然),则进行移动。 对所有这些算法的标准分析实际上表明,所得的割幅至少与\ frac {1} {2} \ sum_ {e \ in E} w(e)一样大12∑e∈Ew(e)12∑e∈Ew(e)\frac{1}{2}\sum_{e \in E}w(e),这是1/2的上限1/21/21/2如果www为非负数,则最大切割的权重-但是如果允许某些边缘具有负权重,则不是! 例如,算法1(选择顶点的随机子集)在带有负边权重的图上显然会失败。 我的问题是: 是否有一种简单的组合算法,可以对可具有负边权重的图的最大割问题得到O(1)近似值? 为了避免最大割取值0的可能发粘的问题000,我将允许∑e∈Ew(e)>0∑e∈Ew(e)>0\sum_{e \in E}w(e) > 0,并且/或者除可导致较小附加误差的算法外,还应予以满足乘法因子近似。

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给定一个加权dag,是否有O(V + E)算法用其祖先权重之和替换每个权重?
当然,问题在于重复计算。对于某些类的DAG =树,甚至是串行并行树,这很容易做到。我发现唯一可以在合理的时间内在一般DAG上运行的算法是一种近似算法(摘要扩散),但是提高精度的位数是指数级的(我需要很多位)。 背景:此任务是在BBChop(http://github.com/ealdwulf/bbchop)概率计算中完成的(多次使用不同的“权重”),该程序用于查找间歇性错误(例如,贝叶斯版本的“ git bisect')。因此,有问题的DAG是修订历史。这意味着边的数量不太可能接近节点数量的平方,对于小于k的节点,它可能小于节点数量的k倍。不幸的是,我没有发现修订版DAG的任何其他有用属性。例如,我希望最大的三连接组件仅随着节点数的平方根增长,但可悲的是(至少在linux内核的历史上)它线性增长。

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树宽和NL vs L问题
ST-连通性是确定有向图G (V ,E )中两个不同的顶点和t之间是否存在有向路径的问题。这个问题是否可以在日志空间中解决是一个长期存在的开放问题。这称为N L vs L问题。ssstttG(V,E)G(V,E)G(V,E)NLNLNLLLL 当的基础无向图具有树宽时,ST-连通性的复杂性是多少?GGG 难为人知吗?是否有一个上限?o(log2n)o(log2n)o({\log}^2n)

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次要排除图最容易实现什么?
使用Jung / Shah的算法,在次要排除图形上,近似着色的数量似乎很容易。还有哪些其他问题在普通图上很难解决,而在次要排除图上很容易解决? 更新10/24 似乎遵循了Grohe的结果,即在有界树宽图上测试的FPT公式是在次要排除图上测试的FPT公式。现在的问题是-它与计数满足该公式的赋值的易处理性有什么关系? 上面的陈述是错误的。在有界树宽图上,MSOL是FPT,但是在轻微排除的平面图上,三色性是NP完全的。

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可以用平方根有界不确定性决定图形同构吗?
有界的不确定性将函数与资源有界的确定性图灵机接受的C类语言相关联,以形成新的g - C类。此类由一些不确定的图灵机M接受的语言组成,它们遵循与用于定义C相同的资源范围,但是其中M最多可以进行g (n )个不确定的动作。(我用的,而不是由Kintala和Fischer,和原来的高士,Levy和Mundhenk的符号,ñg(n)g(n)g(n)CCCgggCCCMMMCCCMMMg(n)g(n)g(n)nnn 是输入的大小。) 我的问题: 是否有一个恒定,使得图同构是在Ç √c≥0c≥0c\ge0 -PTIME吗?cn−−√cnc\sqrt{n}PTIMEPTIME\mathsf{PTIME} (编辑:约书亚·格罗霍(Joshua Grochow)指出,对该问题的肯定答案将意味着一种GI算法比目前已知的具有更好的渐近运行时界限。因此,我很乐意放宽界限,允许不确定的移动。)o(n−−√logn)o(nlog⁡n)o(\sqrt{n}\log n) 背景 对于每一个固定的恒定,P Ť 我中号ë = Ç 登录ñ - P Ť 我中号é,如Ç 日志ñ非确定性移动至多创建配置的多项式数确定性地探索。此外Ñ P = ∪ Ç Ñ Ç - P Ť 我中号é,并通过填充一个可在表现出NP完全语言的手段Ñ ε - P为每个εc≥0c≥0c \ge 0PTIME=clognPTIME=clog⁡n\mathsf{PTIME} = {c\log n}PTIMEPTIME\mathsf{PTIME}clognclog⁡nc\log nNP=∪cnc-PTIMENP=∪cnc-PTIME\mathsf{NP} = \cup_c n^c\text{-}\mathsf{PTIME}nεnεn^\varepsilonPP\mathsf{P}。ε>0ε>0\varepsilon > 0 Kintala和Fischer观察到,确定具有顶点的输入图是否具有(| …

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仅通过谱图理论获得的证明
我对频谱图理论越来越感兴趣,这使我感到很着迷,并且我已经开始收集一些文档,这些文档到目前为止还没有深入阅读。 但是,我对一条出现在多个来源(例如那里)中的语句感到好奇,该语句本质上说图论中的某些结果仅使用基于频谱的技术进行了证明,到目前为止,没有证据表明绕开那些技术是已知的。 除非我没有跳过,否则我不记得在迄今为止阅读的文献中看到过这样的例子。你们中有人知道这种结果的例子吗?

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如何产生没有哈密顿循环的随机图?
令A类表示所有具有哈密顿环的大小为的图。从此类中生成随机图很容易-获取孤立的节点,添加随机的汉密尔顿周期,然后随机添加边。ññnnñnn 令B类表示不具有哈密顿环的所有大小为的图。我们如何从此类中选择随机图?(或做些接近的事情)ñnn

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在多项式时间内可以找到最大的独立集的最大类?
该ISGCI列出了1100类图。对于许多这样的函数,我们知道是否可以在多项式时间内确定独立集。这些有时称为IS简易类。我想编译一个最大的 IS-easy类列表。这些类共同构成了此问题的(已知)易处理性的边界。 由于可以在不影响易处理性的情况下,将无限数量的图添加到任何无限的IS-easy类中,因此有一些限制。让我们将类限制为遗传性的类(在获取归纳子图的情况下封闭,或者等效地,由一组排除的归纳子图定义)。此外,让我们只考虑那些带有简短描述的集合X不含X的族。有可能 是还是易处理的类的无限上升链(如(P,star1,2,k)(P,star1,2,k)(P,\text{star}_{1,2,k})-free和下面由David Eppstein描述的类),但让我们将注意力集中在实际上被证明是IS易用的类上。 这是我所知道的: 完美图 -free(P,star1,2,5)(P,star1,2,5)(P,\text{star}_{1,2,5}) -free(K3,3−e,P5)(K3,3−e,P5)(K_{3,3}-e, P_5) 梅尼尔 几乎二分 无椅子 (无,板球)P5P5P_5 -free(P5,Kn,n)(P5,Kn,n)(P_5,K_{n,n})(对于任何固定的)nnn -free(P5,X82,X83)(P5,X82,X83)(P_5, X_{82}, X_{83}) 是否知道其他此类最大类? 编辑:另请参阅Yaroslav Bulatov提出的与排除的未成年人定义的类有关的相关问题,对于未成年人的图有什么方便呢?并查看世袭阶层的整体属性?对于一个更一般的问题,我之前曾问过有关世袭阶级的问题。 正如Jukka Suomela在评论中指出的那样,未成年人排除案件也很有趣(并且会提出一个有趣的问题),但这不是这里的重点。 为了避免David的示例,最大类也应定义为无X图,其中X中并非每个图都有独立的顶点。 下面的答案中给出的类: 无苹果(由StandaŽivný建议) (无,房子)P5P5P_5(由David Eppstein建议) (爪)-freeK2∪K2∪K_2 \cup(由David Eppstein的建议) 添加了2013-10-09: Martin Vatshelle在回答中提到的Lokshtanov,Vatshelle和Villanger的最新结果取代了一些先前已知的最大类。 尤其是,无是IS易包含的,无P 5,板球,无P 5,K n ,n,无P 5,X 82,X 83,和P 5。,免费)都变得轻松。P5P5P_5P5P5P_5P5P5P_5Kn,nKn,nK_{n,n}P5P5P_5X82X82X_{82}X83X83X_{83}P5P5P_5 这意味着,现在可以将一个禁止的诱导子图最多包含五个顶点的所有遗传图类最终确定为IS-easy或not IS-easy。 不幸的是,证明无图形成IS-easy类的证明似乎不适用于无P 6的图,因此下一个领域是对由单个六顶点图定义的所有遗传图类进行分类。P5P5P_5P6P6P_6 我仍然特别是在IS-易类的形式感兴趣的 -免费为一些集合X的图形与无限多的同构类的,但在那里ÿ不含不IS-容易对任何Ÿ ⊂ …


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图的着色复杂度
假设是着色数为d = χ (G )的图。考虑以下爱丽丝和鲍勃之间的比赛。在每个回合中,爱丽丝选择一个顶点,鲍勃为此顶点用{ 1 ,… ,d − 1 }中的颜色回答。发现单色边缘后游戏结束。设X (G )是两个玩家在最佳玩法下的最大游戏长度(爱丽丝希望尽可能缩短游戏,鲍勃希望尽可能延迟游戏)。例如,X (K n)= nGGGd= χ (G )d=χ(G)d = \chi(G){ 1 ,… ,d− 1 }{1个,…,d-1个}\{1,\ldots,d-1\}X(G )X(G)X(G)X(Kñ)= nX(ķñ)=ñX(K_n) = n和。X(C2 n + 1)= Θ (对数n )X(C2ñ+1个)=Θ(日志⁡ñ)X(C_{2n+1}) = \Theta(\log n) 这个游戏知名吗?

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