仅通过谱图理论获得的证明

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我对频谱图理论越来越感兴趣，这使我感到很着迷，并且我已经开始收集一些文档，这些文档到目前为止还没有深入阅读。

但是，我对一条出现在多个来源（例如那里）中的语句感到好奇，该语句本质上说图论中的某些结果仅使用基于频谱的技术进行了证明，到目前为止，没有证据表明绕开那些技术是已知的。

除非我没有跳过，否则我不记得在迄今为止阅读的文献中看到过这样的例子。你们中有人知道这种结果的例子吗？

graph-theory co.combinatorics proofs spectral-graph-theory

— 安东尼·拉巴尔（Anthony Labarre）
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问题的标题表明，您正在要求只能通过光谱图理论获得的证明，但是您正在要求迄今为止仅通过光谱图理论获得的证明。这是两个完全不同的问题。这样看来，标题令人误解，这就是为什么我更改了它。

— 戴夫·克拉克

@Dave我做了回滚

— Suresh Venkat

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Cvetković，Doob和Sachs撰写的“图谱光谱”的第7章提供了许多定理的示例，这些定理的陈述没有明确提及光谱，但是可以使用光谱技术来证明。我的猜测是，尽管您必须根据具体情况进行验证，但其中许多都没有已知的非光谱证据。当然，在许多情况下，最简单或最自然的证明是使用光谱。

— Timothy Chow，

@Timothy Chow：谢谢，我会尽力而为。

— Anthony Labarre 2011年

@TimothyChow：我想你应该把这个作为答案。

— Suresh Venkat

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— 科林·麦奎伦
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霍夫曼·辛格尔顿也是我的第一个想法。但是，我不知道是否存在任何非光谱证明，是否不存在，是因为它们太困难或没有人尝试过。标准证明非常简洁明了，所以我不知道获得非光谱证明的动机是什么。

— mhum 2011年

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量子计算的结果如何呢？

他将马尔可夫链扩展到量子马尔可夫链，并证明了量子命中时间是经典命中时间的平方根的上限。他通过将经典马尔可夫链的奇异向量与量子马尔可夫链的奇异向量相关联来做到这一点。在本文之前，随机游走与量子游走之间没有任何已知的关系。我无法想象如何使用非光谱技术来做同样的事情。

— 马科斯·维拉格拉
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我认为友谊定理（另请参阅Huneke的论文）是一个很好的例子，即使严格地说，现在已经存在避免定理值的友谊定理的证明。完全避免特征值的证明比光谱证明要混乱得多。

（友谊定理指出，如果在一个人的房间里，每一对人都有一个共同的朋友，那么就会有人认识其他人。）

— 蒂莫西·周
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$L_G$ $G = (V,E,w)$ $G$ $H$ $x \in R^V$

x^{T} L_{H} x (1 - ϵ) \leq x^{T} L_{G} x \leq x^{T} L_{H} x (1 + ϵ) .

$x^T L_H x (1-\epsilon) \le x^T L_G x \le x^T L_H x (1+\epsilon).$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

即使该定理的陈述显然不是“固有的光谱”，但我不认为人们不知道如何使用光谱技术就可以得到该结果或类似结果。

— 列夫·雷津
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关于该陈述是否天生不是光谱的，这值得商de。从字面上看，您是对的，但是我能想到的唯一理由就是频谱是二次方的。

— Suresh Venkat

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F (A) = {x^{T} A x : | | x | |_{2} = 1}

$F(A) = \{x^TAx: ||x||_2 = 1\}$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

当然-但是可以想象以其他方式获得这些稀疏器。但是，是的，这可能不是最好的例子……

— 列夫·雷津