Questions tagged «proofs»

用于询问有关特定定理或猜想的现有或可能证明的问题

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驳斥教会图灵的论点意味着什么?
对不起,标题很吸引人。我想了解,应该怎么做才能反驳“ Turing-Turing”论题?我读过某个地方,从数学上讲是不可能做到的!为什么? Turing,Rosser等使用不同的术语来区分:“可以计算出什么”和“可以由Turing机器计算出什么”。 图灵在1939年对此的定义是:“我们将使用“可计算的功能”一词来表示可由机器计算的功能,而“有效地可计算的”是指直觉性的想法,而没有对这些定义中的任何一种进行特殊识别。 因此,Church-Turing论文可以说如下:每个有效可计算的函数都是可计算的函数。 那么,如果有人反驳这一猜想,证明又将如何?

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计算机在哪里以及如何帮助证明定理?
该问题的目的是从理论计算机科学中收集示例,这些示例对系统地使用计算机有所帮助 在建立导致定理的猜想时, 伪造猜想或证明方法, 构造/验证(部分)证明。 如果您有特定示例,请描述其完成方式。也许这将帮助其他人在日常研究中更有效地使用计算机(到目前为止,在TCS中这似乎仍然是相当不常见的做法)。 (由于没有单个“正确”答案,因此被标记为社区Wiki。)

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有非构造算法存在证明吗?
我记得我可能遇到过一些问题,这些问题已被证明可以解决,并且具有特定的复杂性,但是没有已知的算法可以真正达到这种复杂性。 我全神贯注于这种情况。算法存在性的非建设性证明将是什么样子。 确实存在这样的问题吗?它们有很多实用价值吗?

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严谨导致洞察力
在MathOverflow上,蒂莫西·高尔斯(Timothy Gowers)提出了一个题为“ 证明严谨性很重要 ”的问题。讨论的大多数内容都是关于证明证据重要性的案例,CSTheory上的人们可能不需要说服他们。以我的经验,在理论计算机科学中,证明需要比在连续数学的许多部分中更为严格,因为对于离散结构,我们的直觉常常被证明是错误的,并且因为创建实现的动力鼓励了更详细的论证。数学家可能会对存在证明感到满意,但是理论上的计算机科学家通常会尝试寻找一种构造性证明。LovászLocal Lemma是一个很好的例子[1]。 因此,我想知道 在理论计算机科学中是否有特定的例子,其中经过严格证明的被认为是真实的陈述导致了对潜在问题本质的新见解? 最近一个并非直接来自算法和复杂性理论的例子是证明理论综合,即根据前后条件自动推导正确而有效的算法[2]。 [1]罗宾A. Moser和加博尔·塔尔多斯,一般Lovász局部引理的构造性证明,JACM 57,第11条,2010年http://doi.acm.org/10.1145/1667053.1667060 [2] SAURABH塔瓦,萨米特Gulwani和Jeffrey S.福斯特,从程序验证到程序合成,ACM SIGPLAN声明45,313-326,2010年http://doi.acm.org/10.1145/1707801.1706337 编辑:我想到的答案就像斯科特和马特斯的答案。正如Kaveh所建议的那样,这是人们想要证明的三倍(但这不一定是“物理”,“挥手”或“直觉”的论点所意外的),证明以及对“潜在问题”的后果然后从那出乎意料的证据中得出结论(也许创建一个证据需要出乎意料的新想法,或者自然而然地导致一种算法,或者改变了我们对这一领域的看法)。在开发证明时开发的技术是理论计算机科学的基础,因此,要保留这个有点主观的问题的价值,就应将重点放在个人经验上,例如斯科特(Scott)所提供的经验,或者是有参考文献支持的论点,就像成熟一样。而且,我 m试图避免争论某些事物是否合格;不幸的是,问题的性质可能本质上是有问题的。 我们已经对复杂性中的“令人惊讶”的结果存在疑问:复杂性中的令人惊讶的结果(不在“复杂性博客列表”上),因此理想情况下,我正在寻找针对严格证据的价值(不一定是突破的规模)的答案。

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是否有任何证据证明不依赖于自引用或对角化的停止问题的不确定性?
这是与此有关的一个问题。经过大量讨论之后,再次以一种更为简单的形式提出来,这似乎是一个完全不同的问题。 停止问题的不确定性的经典证明取决于在尝试将假设的HALT决策程序应用于自身时出现的矛盾。我认为,这仅表示不可能由HALT决策者来决定自己是否将停止,但除了停止其他任何案例的可判定性之外,没有提供任何其他信息。 所以问题是 有没有证据表明停顿问题是不确定的,既不依赖于表明HALT不能自行决定,也不依赖于对角化论证? 小编辑:我将致力于该问题的原始措辞,即要求提供一个完全不依赖于对角化的证明(而不是仅仅要求它不依赖于依赖HALT的对角化)。

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证明更深入的结构
Chernoff边界的标准证明(来自“ 随机算法”教科书)使用了马尔可夫不等式和矩生成函数,并附带了泰勒展开式。没什么困难,但有些机械。 但是,还有其他切尔诺夫界证明可以揭示驱动结果的更深层次结构。例如,有一个信息理论版本,它通过类型方法进行处理,例如Impagliazzo和Kabanets的这篇论文以及Sanjoy Dasgupta的这篇简短文章。后面的这些证明更为“直观”,因为它们提供了标准结果的概括,并解释了指数中有趣的术语来自何处(这是KL散度)。 这样的事有哪些好的例子?更具体地说,以下是规则: 该声明应相当知名(在某种研究生班中会讲的那种东西) 教科书或标准参考资料中应有“通常”教示的“标准”证明 应该有一个不太为人所知的替代证明,也不是通常不教授的,或者证明更笼统的陈述或将陈述与更深层的数学结构联系起来。 我将从两个示例开始。 切尔诺夫界 “教科书”证明:马尔可夫不等式,矩生成函数,泰勒展开(MR) 罕见而有见地的证明:类型方法,涉及KL发散的尾部指数 Schwartz-Zippel引理 “教科书”证明:涉及单变量多项式的基本情况。归纳变量数 “罕见”证明:通过Dana Moshkovitz(和Per Vognsen)进行几何论证 请为每个答案举一个例子。 ps我不一定暗示应该教授不常见的证明:直接证明对于学生来说通常更容易。但是从某种意义上来说,“证明可以帮助我们理解”,这些替代证明非常有用。
35 big-list  proofs 

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仅通过谱图理论获得的证明
我对频谱图理论越来越感兴趣,这使我感到很着迷,并且我已经开始收集一些文档,这些文档到目前为止还没有深入阅读。 但是,我对一条出现在多个来源(例如那里)中的语句感到好奇,该语句本质上说图论中的某些结果仅使用基于频谱的技术进行了证明,到目前为止,没有证据表明绕开那些技术是已知的。 除非我没有跳过,否则我不记得在迄今为止阅读的文献中看到过这样的例子。你们中有人知道这种结果的例子吗?

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经典定理的量子证明
我对一些问题的例子感兴趣,在这些问题中,似乎与量子力学/信息无关的定理(例如,关于纯经典物体的某些陈述)可以使用量子工具来证明。古典定理的量子证明调查(A. Drucker,R。Wolf)给出了此类问题的很好的清单,但是肯定还有很多。 与真实和复杂的分析类似,其中不仅可以进行量子证明而且还可以进行“更多照明”的示例尤其令人感兴趣,其中将实际问题置于复杂的环境中通常会使问题更加自然(例如,几何形状更简单,因为被代数封闭等); 换句话说,量子世界是其“自然栖息地”的古典问题。CC\mathbb{C} (我并不是在这里以任何精确的意义来定义“量子性”,而且有人可能会争辩说所有这样的论点最终都可以归结为线性代数;嗯,人们还可以使用复数来转换任何论点以仅使用实数对,但是那又是什么呢? ?)

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证明,障碍和P vs NP
众所周知,解决P vs NP问题的任何证明都必须克服相对化,自然证明和代数化障碍。下图将“证明空间”划分为不同区域。例如,RNRNRN对应于相对化和归化的证明集。GCTGCTGCT(几何复杂性理论)当然是严格的外部区域。 列出一些证明以及它们所属的最著名区域。以最佳方式放置它们,即,如果已知证明可以相对化,归化和代数化,则应将其放置在而不仅仅是。如果证明相对化但不自然化,则它属于,依此类推。R N R ∖ NRNARNARNARNRNRNRRR ∖∖{\setminus} NNN


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的不可证明性的含义
我当时在读“ P对NP是否正式独立? ”,但我对此感到困惑。 在复杂度理论中,人们普遍认为。我的问题是关于这是否不可证明(在)。(假设我们仅发现独立于但是没有进一步的信息证明。) Z F C P ≠ N P Z F CP ≠ N PP≠NP\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}žFCZFCZFCP ≠ N PP≠NP\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}žFCZFCZFC 此声明的含义是什么?进一步来说, 硬度 假设捕获了有效的算法(Cobham–Edmonds论文)和,我们证明了结果暗示它们是超出了我们高效算法的当前范围。如果我们证明了分离,表示没有多项式时间算法。但是,如果分隔无法证明,则结果意味着什么?这些结果会怎样?PP\mathsf{P}Ñ P - ħ 一个[R d Ñ Ë 小号小号ñ P - ħ 一个[R d Ñ Ë 小号小号ñ P - ħ 一个[R d Ñ Ë …

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使用下推自动机证明无上下文语言的抽水引理
可以通过考虑识别所研究语言的有限状态自动机,选择长度大于其状态数的字符串以及应用信鸽原理来证明常规语言的抽动引理。在对上下文无关语言泵引理(以及奥格登引理这是稍微更普遍的),但是,考虑研究语言的上下文无关文法,选择一个足够长的字符串,并期待在解析树证明。 鉴于这两个泵送引理的相似性,您希望可以通过考虑识别语言而不是语法的下推自动机,以与常规的类似的方式来证明与上下文无关的一个。但是,我没有找到关于这种证明的任何参考。 因此,我的问题是:是否有证据证明无上下文语言仅涉及下推自动机而不涉及语法?

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是否可以测试可计算数字是有理数还是整数?
是否可以通过算法测试可计算数是有理数还是整数?换句话说,将有可能为图书馆实现可计算数提供的功能isInteger还是isRational? 我猜测这是不可能的,并且这在某种程度上与以下事实有关:无法测试两个数字是否相等,但是我看不出如何证明这一点。 编辑:可计算的数字xxx由函数给出,该函数fx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)可以返回精度为ϵ的的有理近似值:| x − f x(ϵ )| ≤ ε,对于任何ε > 0。鉴于这样的功能,就是可以测试,如果X ∈ Q或X ∈ ž?xxxϵϵ\epsilon|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonϵ>0ϵ>0\epsilon > 0x∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}x∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}
18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 

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计算图的边缘覆盖数的复杂性
一个边缘盖是一个图的边的子集,使得该图的每个顶点是邻近所述盖的至少一个边缘。以下两篇文章说,计数边缘盖是#P -complete:计数边缘覆盖一个简单FPTAS和路径图的生成边缘覆盖。但是,除非我错过了任何事情,否则他们不会为该主张提供参考或证明。(第一篇论文的参考文献3很有希望,但我也没有找到我想要的东西。) 我在哪里可以找到参考或证据,即对图形的边缘覆盖数进行计数是#P完全的?

1
自然定理仅被证明“具有很高的可能性”?
在很多情况下,随机的“证明”比确定性证明容易得多,典型的例子是多项式身份测试。 问题:是否存在已知随机证明但不确定性证明的自然数学“定理”? 通过陈述的“随机证明”,我的意思是PPP 有一个随机算法,输入,如果为假,则产生确定性证明,概率至少为。P ¬ P 1 - 2 - Ñn>0n>0n > 0PPP¬P¬P\neg P1−2−n1−2−n1-2^{-n} 有人已经针对运行了该算法,并且没有反驳该定理。n=100n=100n = 100 生成适合的非自然语句很容易:只要选择仅知道高效随机算法的任何问题的大型实例即可。但是,尽管有很多带有“大量数字证据”的数学定理,例如黎曼假设,但我不知道有任何具有上述形式的严格随机证据的定理。

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