Questions tagged «algebra»

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代数结构在理论计算机科学中的用途
我是一名软件从业人员，我正在撰写一项有关代数结构的调查报告，以进行个人研究，并试图提供有关如何在理论计算机科学（以及程度较小的计算机科学的其他子领域）中使用这些结构的示例。 。 在组理论下，我遇到了形式语言的句法半身像和并行/并发计算的轨迹和历史半身像。 从环论的角度来看，我遇到了用于图形处理和基于半环的解析的半环框架。 在我的研究中（但愿如此），我尚未从模块理论中找到任何代数结构的用途。 我假设还有更多示例，而我只是没有在正确的位置寻找它们。 理论计算机科学（以及计算机科学的其他子领域）中常见的上述领域的代数结构还有哪些其他示例？另外，您可以推荐哪些期刊或其他资源涵盖这些主题？
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格罗布纳基地在TCS？
有人知道Gröbner基础在理论计算机科学中的有趣应用吗？ Gröbner基用于求解多元多项式方程，这通常是一个NP-hard问题。我想知道在TCS或TCS相关领域（组合，编码理论）中是否使用了一些易于处理的特殊情况来提供有效的算法/构造/证明。
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理论计算机科学的面向代数的分支
我在代数方面有很强的基础，即 交换代数 同源代数 场论 范畴论 而且我目前正在学习代数几何。 我是一门数学专业，倾向于转向理论计算机科学。牢记上述领域，理论上哪个领域最适合切换到哪个领域？也就是说，通过追求上述领域而获得的理论和数学成熟度可以在哪个领域发挥自己的优势？
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类型空间中的对数或根运算是什么？
我最近在阅读计算的两个对偶：否定和小数类型。本文扩展了求和类型和乘积类型，为类型a - b和提供了语义a/b。 与加法和乘法不同，乘幂，对数和生根不是一个而是两个倒数。如果函数类型（a→b）是类型理论乘幂，则给定类型a → b（或b^a），具有类型logb(c)或类型意味着什么a√c？ 将对数和根扩展为类型是否有意义？ 如果是这样，这方面是否有任何工作，关于如何理解这些影响有什么好的指导？ 我尝试通过逻辑查找有关此问题的信息，希望Curry-Howard的信件对我有帮助，但无济于事。
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数据结构同构
免责声明：我不是CS理论家。 来自抽象代数，我习惯于处理等同于同构的事物，但是我很难将这个概念转换为数据结构。我首先以为，设置理论上的双射态射影就足够了，但是我很快遇到了麻烦-它们只是编码而不能捕捉数据结构的计算本质。 有没有更严格（但更有用）的定义？（或者，如果不是，为什么？）“构造数据结构”类别的规范定义吗？
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理论计算机科学家的抽象代数
我接受过合理的本科数学教育，但从未百分百满意抽象代数（群，环，场等的数学）。我认为这部分是因为我需要查看应用程序，而我能找到的任何应用程序都是在物理领域，而不是CS。因为我真正的兴趣是CS，所以现在有没有可用的材料（在线草稿，讲义，视频，书籍）从CS中的应用（尤其是算法/理论）的角度涵盖抽象代数？我很高兴这些应用程序完全是理论性的，但是它们不应该假设任何已有的抽象代数知识。 我很确定这些资源是否存在，它们将被大量CS研究人员所赞赏。
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是否可以测试可计算数字是有理数还是整数？
是否可以通过算法测试可计算数是有理数还是整数？换句话说，将有可能为图书馆实现可计算数提供的功能isInteger还是isRational？ 我猜测这是不可能的，并且这在某种程度上与以下事实有关：无法测试两个数字是否相等，但是我看不出如何证明这一点。 编辑：可计算的数字xxx由函数给出，该函数fx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)可以返回精度为ϵ的的有理近似值：| x − f x（ϵ ）| ≤ ε，对于任何ε > 0。鉴于这样的功能，就是可以测试，如果X ∈ Q或X ∈ ž？xxxϵϵ\epsilon|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonϵ>0ϵ>0\epsilon > 0x∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}x∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}
18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 
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是否有一种将范畴论/抽象代数与计算复杂性相结合的理论？
范畴论和抽象代数处理函数可以与其他函数组合的方式。复杂度理论涉及函数的计算难度。我很奇怪我没有看到任何人将这些研究领域相结合，因为它们看起来像是天生的对。有人做过吗？ 作为一个激励性的例子，让我们看一下monoid。众所周知，如果一个操作是一个monoid，那么我们可以并行化该操作。 例如在Haskell中，我们可以简单地将加法定义为整数，如下所示： instance Monoid Int where mempty = 0 mappend = (+) 现在，如果我们要计算0到999的总和，可以依次执行以下操作： foldl1' (+) [0..999] 或者我们可以并行执行 mconcat [0..999] -- for simplicity of the code, I'm ignoring that this doesn't *actually* run in parallel 但是并行化此类半体唯一有意义的原因是mappend在恒定时间内运行。如果不是这种情况怎么办？例如，列表是等分体，其中mappend的运行时间不是恒定的（或空格！）。我猜这就是为什么Haskell中没有默认的并行mconcat函数。最佳的实现取决于类半体动物的复杂性。 似乎应该有一种方便的方法来描述这两个类半体动物之间的差异。然后，我们应该能够使用这些差异来注释我们的代码，并让程序根据Monoid的复杂性自动选择最佳算法来使用。
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计算O（n log n）时间平方的稀疏多项式之和？
假设我们最多有阶数的多项式，，使得非零系数的总数为（即，多项式是稀疏的）。我对用于计算多项式的高效算法感兴趣： n n &gt; m np1个，。。。，p米p1,...,pmp_1,...,p_mñnnn &gt; 米n&gt;mn>mñnn ∑一世p一世（x）2∑ipi(x)2\sum_i p_i(x)^2 由于此多项式的次数最多，因此输入和输出大小均为。在的情况下，我们可以在时间使用FFT计算结果。可以对任何进行此操作吗？如果有什么不同，我对系数为0和1的特殊情况感兴趣，应该对整数进行计算。O （n ）m = 1 O （n log n ）m &lt; n2 n2n2nO （n ）O(n)O(n)m = 1m=1m=1O （ ñ 日志n ）O(nlog⁡n)O(n \log n)m &lt; nm&lt;nm<n 更新。我意识到，针对上述问题的快速解决方案将意味着快速矩阵乘法的发展。特别是，如果那么我们可以读取作为系数在。因此，计算对应于计算两个向量的外积，并且计算和对应于计算矩阵乘积。如果存在使用时间来计算的解决方案那么我们可以在时间中将两个 -n矩阵相乘 a i k b k j x i + n j p k（x …
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四边数据结构（Delaunay / Voronoi）
计算几何体或代数学家有2个问题： 我才刚刚开始涉足计算几何，我爱它=） 为了实现Delaunay三角剖分算法，我正在尝试阅读Guibas和Stolfi的著名文章“操纵一般细分和计算Voronoi图的原语”。我很想跳过所有理论上的内容，而只是阅读它们的四边数据结构的描述以节省时间。但是，如果结构被广泛使用，或者仅仅因为它很漂亮，我认为理解本文中的所有数学也许是值得的。 数学对我来说有点困难。我并不完全了解拓扑，但是对它们的边缘代数的描述需要我没有的抽象代数知识。 我的两个问题是：除了计算Delaunay / Voronoi之外，四边结构还有哪些其他应用？它似乎是一个非常强大的工具。 第二个问题；什么是抽象代数？如果您能给我参考抽象代数的介绍，那就太好了，这样我就可以理解它们的边缘代数部分。 谢谢！
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环在计算中的形式表示
在阅读有关使用代数方法检测某些诱导子图的论文时，似乎边缘理想是连接交换代数和图论的重要工具。由于我不熟悉代数对象的计算，因此有没有关于该主题的好的参考书或书籍？在图灵机上表示圆环R的特殊性，以及决定R上基本属性的复杂性（例如，R中的理想理想高度）。
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是否存在高度对称的NP或P完全语言？
是否存在，其中有一些家庭对称群的NP-或P-完整的语言摹ñ（或广群上套，但随后的算法问题变得更加开放）作用（在多项式时间）大号ñ = { 升∈ 大号∣ | l | = n }使得轨道很少，即| L n / G n | &lt; n c对于足够大的n和一些c，使得G nLLLGnGnG_nLn={l∈L∣|l|=n}Ln={l∈L∣|l|=n}L_n = \{ l \in L \mid |l| = n \}|Ln/Gn|&lt;nc|Ln/Gn|&lt;nc|L_n / G_n| < n^cnnncccGnGnG_n可以给定有效地生成？nnn 这里的要点是，如果人们找到了这样的语言/组，并且如果可以在多项式时间组动作下找到范式，则可以通过将P T I M E简化为L来将L简化为计算任何给定N的范式，这意味着P = N P或L = PFPFP\mathrm{FP}LLLPTIMEPTIME\mathrm{PTIME}NNNP=NPP=NP\mathrm{P = NP}L=PL=P\mathrm{L = P}，具体取决于您最初分别选择的是NP完整语言还是P完整语言。因此，似乎没有这样的轨道稀疏的群体，或者对于所有这样的群体而言，很难计算正态形式，或者这些结果中的一个将保持不变，我认为我们大多数人都不相信。此外，它看来，如果一个人可以计算在轨道而不是正常形式的等价关系，一个仍然可以做到这一点不均匀，在。希望其他人对此有想法。P/polyP/poly\mathrm{P/poly}
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关于作为语言的句法半形体的半形体的实现
让有些语言，然后我们定义的语法一致性为 û 〜v ：＆DoubleLeftRightArrow; ＆ForAll; X ，Y ^ ∈ X *：X ü Ÿ ∈ 大号↔ X v ÿ ∈ 大号 以及商半群X * / 〜大号是称为L的句法句组。大号⊆ X∗L⊆X∗L \subseteq X^{\ast}ü 〜v ：＆DoubleLeftRightArrow;＆ForAll; X ，ÿ∈ X∗：x u y∈ 大号↔ X v ÿ∈ 大号u∼v:⇔∀x,y∈X∗:xuy∈L↔xvy∈L u \sim v :\Leftrightarrow \forall x, y\in X^{\ast} : xuy \in …
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AES的硬度保证
许多公共密钥密码系统具有某种可证明的安全性。例如，证明拉宾密码系统与分解一样困难。 我想知道对于诸如AES之类的秘密密钥密码系统是否存在这种可证明的安全性。如果不是，有什么证据证明很难破解这种密码系统？（除了抵抗试错攻击） 备注：我熟悉AES操作（AddRoundKey，SubBytes，ShiftRows和MixColumns）。AES的硬度似乎来自MixColumns操作，而后者又必须继承Galois场（以及代数）上的一些难题。实际上，我可以将问题重申为：“哪个硬代数问题可以保证AES的安全性？”
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