理论计算机科学的面向代数的分支

我在代数方面有很强的基础，即

• 交换代数
• 同源代数
• 场论
• 范畴论

而且我目前正在学习代数几何。

我是一门数学专业，倾向于转向理论计算机科学。牢记上述领域，理论上哪个领域最适合切换到哪个领域？也就是说，通过追求上述领域而获得的理论和数学成熟度可以在哪个领域发挥自己的优势？

从属类型理论的最新发展就是将类型系统与同伦类型联系起来。

现在这是一个相对较小的领域，但是目前正在完成许多令人兴奋的工作，并且可能有很多悬而未决的成果，最显着的是移植代数拓扑和同系代数的结果以及形式化高归纳类型的概念。

代数几何在代数复杂度理论中尤其是在几何复杂度理论中被大量使用。表示理论对后者也很重要，但是与代数几何和同调代数结合使用时，它更有用。

您对场论的了解将对密码学有用，而范畴论在编程语言和类型系统的研究中被大量使用，这两者都与数学基础密切相关。

场论和代数几何将在与纠错码相关的主题中很有用，无论是在经典环境中还是在研究本地可解码的代码和列表解码中。我相信这可以重新用于Reed-Solomon和Reed-Muller码，然后再推广到代数几何码。例如，请参见本书中有关代数几何代码的经典编码理论观点的章节，对本地可编码代码的简要概述以及有关列表解码Reed-Solomon以及更普遍的代数几何代码的著名论文。

计算学习理论，机器学习和计算机视觉中存在一些可以使用可交换代数和代数几何来解决的问题。例如，可以根据表征多项式方程组系统的仿射变化的形式，制定贝叶斯传播算法（一种用于贝叶斯推理的消息传递算法）的收敛性。

您是否考虑过考虑计算机代数？公理是一种计算机代数系统，其类型系统是根据类别理论（或通用代数，取决于您的视图）建模的。Axiom FriCAS和OpenAxiom还有另外两个派生。

如果您对类别理论感兴趣，那么类型系统可能是一回事。

在Axiom中，每个“项目”（例如“ 1”，“ 5 * x ** 2 +1”）都是Domain的元素。“域”是声明为特定类别（例如，整数，多项式（整数）的成员）的公理对象。公理类别是声明为专有符号“类别”（例如，Ring，多项式）的成员的公理对象（R，E，V））。

在类别之间有一个多重继承的继承格。例如，类别Monad继承自SetCategory，Monoid继承自Monad，Group继承自Monoid等，等等。

还有一个更高阶的多态性，有点像Java中的泛型。

Axiom中的几个动作可以看作是函子，但是要花很多！

如果您只是想使用Axiom而不必担心类别理论（作为典型的最终用户），那么符号计算系统就是研究单个代数的正确软件。

$L \subseteq X^{\ast}$

下列人在常规语言中使用了这种代数观点：关于自动机理论的塞缪尔·艾伦伯格，让·贝斯特尔，让·埃里克·宾，马塞尔·舒岑伯格和克罗恩·罗德斯理论。

围绕Cerny猜想的工作中也涉及非平凡的代数，其中大部分是相当组合的。但是最近，我看到线性代数，环论和表示论做得更多，并期待Benjamin Steinberg和Jorge Almeida工作。

顺便说一句，您可以在这些领域中使用半群论，半素半群论和群论取得不错的成绩，但是类别论和同伦论在该领域使用不​​多。但也许值得一提的是，尽管S. Eilenberg尚未涉足自动机理论，但他还是类别理论的创始者之一。

布伦特·约基（Brent Yorgey）的论文虽然还只是草稿，但在解释您的兴趣为何与TCS有关方面做得非常出色。

这是乔亚尔今年四月关于相关材料的演讲。

我不知道您是否考虑过行业，但是Ayasdi公司在数据科学领域应用了许多同构和其他应用的拓扑方法，正在做着出色的工作。他们将许多理论与应用融合在一起。基本上，要查看它们的功能，请查看Stanford Comptop网站。（大多数人来自那里）。

除了其他人所说的（我猜这些分支的最大应用确实是在类型系统中）：

• 一般而言，格点理论和偏序在分析分布式系统的行为以及在编译器中进行数据流分析时，都被大量应用。
• 我还看到了Galois连接应用于机器学习（特别是文本分类：二分文档/词图的左右两个顶点的子集之间的Galois连接极大地加快了算法的速度）。

代数与理论计算机科学之间的联系非常牢固。Nic Doye已经提到了计算机代数，但是他没有明确包括重写系统理论，该理论是计算机代数的重要组成部分，并应用于自动方程求解和自动推理中。字符串重写系统是一个重要的子领域，在计算组理论中具有应用。例如，请参阅Ronald Book和Friedrich Otto所著的“ String Rewriting Systems”一书。

图论与代数之间也存在联系，例如包括发达的图谱理论和复杂网络，以及图对称性理论（Cayley graps，顶点传递图和其他类型的对称图） ，它们被大量用作并行计算机中互连网络的模型）。请查看克里斯·戈德西尔（Chris Godsil）和戈登·罗伊尔（Gordon Royle）所著的“代数图论”一书，以了解不同主题的概述。

检查计算机视觉中的情况。特别是算法类型有很多主题，您列出的前三个区域非常有用。