代数结构在理论计算机科学中的用途

我是一名软件从业人员，我正在撰写一项有关代数结构的调查报告，以进行个人研究，并试图提供有关如何在理论计算机科学（以及程度较小的计算机科学的其他子领域）中使用这些结构的示例。 。

在组理论下，我遇到了形式语言的句法半身像和并行/并发计算的轨迹和历史半身像。

从环论的角度来看，我遇到了用于图形处理和基于半环的解析的半环框架。

在我的研究中（但愿如此），我尚未从模块理论中找到任何代数结构的用途。

我假设还有更多示例，而我只是没有在正确的位置寻找它们。

理论计算机科学（以及计算机科学的其他子领域）中常见的上述领域的代数结构还有哪些其他示例？另外，您可以推荐哪些期刊或其他资源涵盖这些主题？

我的印象是，总的来说，传统代数对于计算机科学而言过于具体。因此，计算机科学家要么使用较弱的（并因此使用更通用的）结构，要么对传统结构进行泛化，以使它们能够满足其需求。我们还使用范畴论很多，数学家并不认为这是代数的一部分，但我们不知道为什么不代数。我们发现将传统数学划分为“代数”和“拓扑”作为单独的分支是不方便的，甚至是毫无意义的，因为代数通常是一阶的，而拓扑则有可能处理更高阶的方面。因此，计算机科学中使用的结构混有代数和拓扑。实际上，我想说的是它们比代数更倾向于拓扑。从我们的角度来看，将推理归类为“代数”和“逻辑”是另一种毫无意义的划分，因为代数涉及方程式属性，而逻辑也涉及所有其他种类的属性。

回到您的问题，半群和类半群词在自动机理论中被大量使用。艾伦伯格（Eilenberg）撰写了两卷集，其中第二集几乎完全是代数。有人告诉我他正在计划四册，但是他的年龄不允许完成该项目。让·埃里克·平（Jean-Eric Pin）在在线书中对此内容进行了现代化改造。自动机是“ monoid模块”（也称为“半身像动作”或“动作”），对于计算机科学而言，它们处于适当的普遍水平。传统的环形模块可能太具体了。

格理论是指称语义学发展的主要力量。当计算机科学家与数学家共同开发出连续的网格，然后将其推广到领域时，拓扑结构被混入了网格理论中。我想说领域理论是计算机科学家自己的数学，而传统数学对此一无所知。

通用代数用于定义数据类型的代数规范。到了那里，计算机科学家立即发现需要处理更一般的属性：条件方程（也称为方程式Horn子句）和一阶逻辑属性，仍然使用通用代数的相同思想。正如您将要注意的那样，代数现在已合并到模型理论中。

范畴论是类型论的基础。随着计算机科学家不断发明新的结构来处理各种计算现象，类别理论是一个放置所有这些思想的非常令人欣慰的框架。我们还使用由类别理论支持的结构，这些结构在“传统”数学中不存在，例如函子类别。此外，代数回来到从视图中使用一个明确的点图片单子和效果代数理论。 Coalgebras是代数的对偶，也有很多应用。

因此，“代数”在计算机科学中有广泛的应用，但它不是传统代数教科书中发现的那种代数。

附加说明：范畴论是代数有一种具体的意义。 Monoid是代数的基本结构。它由一个有关联的二进制“乘法”运算符组成。范畴论通过将“类型”与mono半群的元素关联起来对此进行了概括。仅当类型匹配时，才可以“相乘”元素：如果和然后。例如，矩阵具有一个乘法运算，从而使它们成为一个monoid。但是，矩阵（其中和a ：X → Y b ：Y → Z a b ：X → Z n × n m × n m $a : X \rightarrow Y$$a : X \rightarrow Y$$b : Y \to Z$$ab : X \to Z$$n \times n$$m \times n$$m$$n$可能会有所不同）形成一个类别。因此，monoid是具有单一类型的类别的特殊情况。环是具有单个类型的加性类别的特例。模块是函子的特殊情况，其中源类别和目标类别具有单一类型。等等。范畴论是类型代数，其类型使其比传统代数无限适用。

我一直以来最喜欢的在TCS中使用群论的应用是Barrington定理。您可以在复杂性博客上找到该定理的说明，并在该帖子的评论部分中找到Barrington的说明。

组，环，字段和模块在计算拓扑中无处不在。尤其参见卡尔森和佐莫罗迪安关于（多维）持久同源性的著作[ex：1 ]，该著作全部涉及主要理想域上的分级模块。

这是一种非常不错的实用用法：一种用于计算图连接性的算法（来自FOCS2011）。为了计算图的s-> t连通性，作者提出了一种算法，该算法将具有从有限域绘制的条目的随机矢量分配给s的外边缘，然后通过取随机值为图中的所有边缘构造相似的矢量线性组合，最后通过计算分配给t边缘的结果向量的秩来发现连通性。

格点和不动点是程序分析和验证的基础。尽管由于我们关注诸如计算和逼近固定点之类的算法问题，所以很少使用晶格理论的高级结果，而晶格理论的研究则侧重于其他问题（与拓扑结构，对偶理论等的关联）。最初的抽象解释论文使用基本格子理论。Roberto Giacobazzi及其合作者的工作使用了更先进的结果。

在分布式计算中，使用代数拓扑方法得出了一个著名的不可能结果系列（请参阅Maurice Herlihy和Nir Shavit的著作）。

[编辑：请参阅拓扑在计算机科学中的应用 ]。

通用代数是研究约束满足问题复杂性的重要工具。

例如，二分法猜想指出，从广义上讲，有限域上的约束满足问题是NP完全的或多项式时间可解的。请注意，根据Ladner定理，除非P = NP，否则NP中存在问题，这些问题不在P中，也不是NP完全的，因此，推测认为CSP特别具有二分法，而较大的复杂性类别则没有。这也将提供一些解释，为什么我们在实践中遇到的大多数问题可以归为NP完全问题或P。

二分法在几种特殊情况下得到了证明，例如二元域CSP（Schaefer）和三元域CSP（Bulatov），以及同态到无向图（Hell和Nesetril）。但是一般情况是相当公开的。攻击的主要途径之一是通过通用代数。非常粗略地讲（我绝对不是专家！），我们将CSP的多态性定义为CSP域上的一个函数，如果将其应用于每个变量，则所有满足的约束都将得到满足。从某种意义上说，CSP的多态集反映了它的复杂性。例如，如果CSP A接受了CSP B的所有多态性，则A是多项式时间可简化为B。例如，如果CSP的多态代数是幂等的并且接受一元类型，则CSP是NP完全的。幂等是一个简化的假设，可以或多或少地做出，而不会失去一般性。证明代数是幂等且不承认一元类型的CSP可以在多项式时间内求解，这将证明二分法猜想。

参见Bulatov所做的调查：http : //www.springerlink.com/content/a553847g6h673k05/。

这是来自TCS不同部分的两个应用程序。

半环用于对数据库中的注释建模（特别是对出处所需要的注释），并且通常还用于价值约束满足中的评估结构。在这两种应用中，必须以自然形成半环结构的方式将各个值组合在一起，并具有关联性，并且一个半环操作分布在另一个环上。通常，关于模块的查询，在这些应用程序中，没有任何一个monoid都具有反函数。

• 托德·格林（Todd J. Green），格里戈里斯（Grigorris Karvounarakis）和瓦尔·坦嫩（Val Tannen）。种源半圆环，PODS 2007. doi：10.1145 / 1265530.1265535（预印本）
• Stefano Bistarelli，Ugo Montanari和Francesca Rossi。 基于半环的约束满足和优化，JACM1997。doi ：10.1145 / 256303.256306（preprint）

环，模块和代数形式用于纠错，并且更普遍地用于编码理论。

具体而言，存在一种抽象的纠错方案（代数几何代码），该方案将里德-所罗门代码和汉语余数代码进行了概括。该方案基本上是使您的消息来自环R，并通过将其残差取模R中的多个理想值进行编码。在有关R的某些假设下，可以证明这是一个不错的纠错码。

在列表解码的世界中，Guruswami 的最新论文提出了一种线性代数方法，用于对折叠的Reed-Solomon码进行列表解码，该方法具有很好的特性：所有候选消息都位于消息空间的低维仿射子空间中。可以构造子空间规避集，这些集几乎与整个空间一样大，但与每个低维仿射子空间的交集都很小。如果将消息限制为来自消息空间内的子空间规避集，则Guruswami的方案提供了一种算法，可以保证良好的列表大小。到目前为止，Dvir和Lovett在他们即将发表的STOC论文Subspace Evasive Sets中给出了子空间规避集的唯一明确构造。 并通过采用特定的仿射变种（并随身携带其笛卡尔积）构建集合。

查看Ramsey理论 -基本上是对鸽孔原理的重大概括，它是许多自动机和形式语言理论的基础（或者说，鸽孔原理是Ramsey理论的最简单案例）。基本上说，即使高度无序的结构也足够大，结果也必然包含很多有序。举一个超越鸽子洞原理的小例子，请注意，如果您雇用了六个人，那么他们三个要么彼此认识，要么三个彼此不认识。

本文看起来像是开始与计算机科学联系的好地方，但是您可以在Google上搜索更多内容。它在本质上比代数更具有组合性，但是在代数和理论CS中有许多应用。

并查看发明家弗兰克·拉姆齐（Frank Ramsey）的故事，他确实是一位杰出的数学家，他在经济学，哲学和数学方面做出了基础性甚至革命性的贡献，许多人直到很晚才意识到这一点，直到26岁去世。想一想！实际上，拉姆齐（Ramsey）的原始定理是拉姆齐（Ramsey）理论的基础，只是一篇论文中的引理，其目标是数学逻辑。

通过使用群论，可以分析具有很多对称性的任何问题。一个示例是找到诸如rubic's cube之类的算法。尽管我不知道细节，但我确信证明神的数字是20需要对小组进行认真的理论修剪。在不同的上下文中，诸如nauty之类的图同构问题的实际求解器使用图的自同构组。

代数（以及代数几何）在密码学中扮演着非常重要的角色，椭圆曲线组，（数论）晶格，当然是几乎所有现代密码学工作的基础。$\mathbb{Z}_p$

在函数式编程中，问题的最通用，最优雅的抽象本质上通常是代数的（或范畴论的）：monoids，半环，函子，monad，F-代数，F-coalgebras等。一些经典结果（例如，Yoneda引理）恰好具有计算内容和实用性。

此外，还有同伦类型理论，该理论解释代数拓扑环境中的类型理论。

最近，我们探索（请参阅有关springerlink的论文：频繁项集挖掘方法的基于正式序列的统一）通过形式序列和加权自动机进行模式挖掘（数据挖掘的流行实例）方法的统一尝试。这些工具基于Monoid和半环结构之间的映射。