Questions tagged «optimization»

有关从某些可用替代方案中选择最佳元素的一般问题。

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在多项式时间内可以准确或近似地求解什么类型的数学程序?
我对连续优化文献和TCS文献感到困惑,因为它们无法有效解决哪些类型的(连续)数学程序(MP)。连续优化社区似乎声称可以有效解决所有凸程序,但我认为它们的“有效”定义与TCS定义不一致。 在过去的几年中,这个问题一直困扰着我,我似乎找不到一个明确的答案。我希望您能帮助我一劳永逸地解决这一问题:哪些类的MP可以在多项式时间内准确地求解,以及采用哪种方式;关于逼近我们在多项式时间内无法精确求解的MP的最优解的已知信息? 在下面,我对这个问题给出了不完整的答案,在某些地方也可能是不正确的,因此希望您能在我错的地方验证并纠正我。它还说明了一些我无法回答的问题。 我们都知道,通过运行椭球法或内点法,然后运行一些舍入过程,可以在多项式时间内精确地求解线性规划。线性规划甚至可以在面对具有任何超大量线性约束的LP系列时,通过变量数量的时间多项式求解,只要可以为其提供“分离预言”即可:给出一个点的算法,要么确定该点是否可行,要么输出一个将该点与可行点的多面体分开的超平面。类似地,如果面对具有任何超大量变量的LP系列,则对约束数量的时间多项式进行线性编程(如果为这些LP的对偶提供分离算法)。 如果目标函数中的矩阵是正(半)定的,则椭球法还能够在多项式时间内求解二次程序。我怀疑通过使用分离oracle技巧,如果我们要处理数量惊人的约束,在某些情况下我们也可以这样做。真的吗? 最近,半定型编程(SDP)在TCS社区中广受欢迎。可以使用内点法或椭球法将它们求解到任意精度。我认为,由于不能精确计算平方根的问题,所以不能完全解决SDP。(?)如果我说SDP有FPTAS,那会是正确的吗?我在任何地方都没有看到该说明,因此可能不正确。但为什么? 我们可以精确地解决LP和SDP的问题,达到任意精度。其他圆锥程序类别呢?我们可以使用椭球法求解任意精度的二阶锥程序吗?我不知道。 我们可以在哪些MP类上使用椭球法?这样的MP需要满足什么性质才能给出任意精度的答案?为了获得多项式时间的精确解,我们还需要什么其他性质?内点法也有同样的问题。 哦,最后,是什么导致连续优化器说凸程序可以有效地求解?是否可以在多项式时间内找到对凸程序的任意精度答案?我相信不会,那么它们对“效率”的定义在哪些方面与我们的定义不同? 任何贡献表示赞赏!提前致谢。


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四舍五入以使成对距离的误差之和最小
有关以下问题的复杂性的已知信息: 给定:有理数。x1&lt;x2&lt;…&lt;xnx1&lt;x2&lt;…&lt;xnx_1 < x_2 < \dotso < x_n 输出:整数。y1≤y2≤…≤yny1≤y2≤…≤yny_1 \le y_2 \le \dotso \le y_n 目标:最小化其中∑1≤i&lt;j≤ne(i,j),∑1≤i&lt;j≤ne(i,j),\sum_{1 \le i < j \le n} e(i,j),e(i,j)=|(yj−yi)−(xj−xi)|.e(i,j)=|(yj−yi)−(xj−xi)|.e(i,j) = | (y_j-y_i) - (x_j-x_i)|. 也就是说,我们希望将有理数四舍五入为整数,以使成对距离的误差之和最小。对于每对我们希望使舍入距离尽可能接近真实距离。y j − y i x j − x ii,ji,ji, jyj−yiyj−yiy_j-y_ixj−xixj−xix_j-x_i 动机:无聊的地铁旅行和一张海报,以1分钟的行进时间分辨率显示车站的“位置”。在这里,我们将人们使用海报查看站点和之间的行驶时间所产生的误差最小化,将所有对平均值。Ĵ 我&lt; Ĵiiijjji&lt;ji&lt;ji y_ji&lt;ji&lt;ji < j 最初的问题考虑的是单调整数版本,但欢迎提供与这些版本中的任何一个相关的答案。

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具有良好表征但没有多项式时间算法的优化问题
考虑以下形式的优化问题。令是多项式时间可计算函数,它将字符串映射为有理数。优化的问题是:什么是最大值超过位串?x f (x )n xf(x)f(x)f(x)xxxf(x)f(x)f(x)nnnxxx 让我们说,如果存在另一个多项式时间可计算函数,则这样的问题具有minimax特征,从而 成立。在此,x在所有n位字符串上运行,y在所有m位字符串上运行;n和m可能不同,但是它们在多项式上相关。max x f (x )= 最小y g (y )x ngggmaxxf(x)=minyg(y)maxxf(x)=minyg(y)\max_x f(x) = \min_y g(y)xxxnnn米Ñ 米yyymmmnnnmmm 许多自然和重要的优化问题都具有这种minimax特征。一些示例(括号中显示了表征所基于的定理): 线性规划(LP对偶Thm), 最大流 (最大流Min Cut Thm), 最大二分匹配 (Konig-Hall Thm), 最大非二分匹配 (Tutte's Thm,Tutte-Berge公式), 最大不交集树状有向图 (埃德蒙(Edmond)的不相交分支Thm),无向图中的最大生成树 堆积 (Tutte's Tree Packing Thm), 最小森林 覆盖率(Nash-Williams Thm), 最大定向 切块堆积(Lucchesi-Younger Thm), 最大2螺旋交叉 (Matroid交叉) Thm), 最大不相交路径 …

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用量子计算机对凸多面体进行近似采样
量子计算机非常适合采样分布,而我们不知道如何使用经典计算机进行采样。例如,如果f是一个布尔函数(从至- 1 ,1),其能够在多项式时间来计算,然后用我们可以有效样品根据分布通过傅立叶展开描述量子计算机的 (我们不知道如何使用经典计算机来完成。){ - 1 ,1 }ñ{-1个,1个}ñ\{-1,1\}^n- 1 ,1-1个,1个{-1,1} 我们是否可以使用量子计算机对d变量中n个不等式所描述的多面体中的随机点进行采样或近似采样? 从不平等转移到要点,在我看来有点类似于“转变”。而且,即使您修改了分布,例如,考虑由多面体的超平面或其他某些事物描述的高斯分布的乘积,我也会很高兴看到一种量子算法。 几点评论:Dyer,Frieze和Kannan发现了著名的古典多项式时间算法,可以近似采样和近似计算多面体的体积。该算法基于随机游动和快速混合。因此,我们想为同一目的找到一种不同的量子算法。(好的,我们可以希望量子算法也可以在这种情况下导致我们不知道经典地做事。但是首先,我们想要的只是一个不同的算法,这必须是可能的。) 第二,我们甚至不坚持对均匀分布进行近似采样。我们很乐意对其他一些很好的分布进行采样,而这些分布在我们的多面体中得到了大致支持。Santosh Vampala(还有我在另一种情况下)有一个论点从采样到优化:如果要优化f(x)样本以找到典型的f(x)的点y。添加约束{f(x)&gt; = f(y)}并重复。

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将矩形打包成凸多边形,但不旋转
我对将(2维)矩形的相同副本包装到凸(2维)多边形而不重叠的问题感兴趣。在我的问题中,您不允许旋转矩形,并且可以假定它们与轴平行。仅给出了矩形的尺寸和多边形的顶点,并询问了可以将多少个相同的矩形副本包装到多边形中。如果您允许旋转矩形,我相信这个问题是NP难题的。但是,如果不能知道该怎么办?如果凸多边形仅仅是一个三角形怎么办?如果问题确实是NP难题,是否有已知的近似算法? 到目前为止的摘要(2011年3月21日)。彼得·索尔(Peter Shor)观察到,我们可以将此问题视为凸多边形中的一个打包单位正方形,而如果对要打包的正方形/矩形的个数施加多项式界,则该问题就在NP中。Sariel Har-Peled指出了针对同一多项式有界情况的PTAS。但是,通常,打包的平方数在输入的大小上可能是指数的,该输入仅由可能的简短整数对列表组成。以下问题似乎尚未解决。 NP中的完整无界版本吗?有无限制版本的PTAS吗?P或NPC是多项式有界情况吗?我个人最喜欢的,如果仅将单位正方形包装成三角形,是否会更容易解决问题?

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固定图上的派系问题
众所周知,斜率函数取一个完整的顶点图的(生成)子图,输出 iff包含一个斜率。在这种情况下变量对应于边缘的。已知(Razborov,Alon-Boppana),对于,此函数需要大小约为单调电路。 Ç 大号我Q ù ë (Ñ ,ķ )ģ ⊆ ķ Ñ Ñ ķ Ñ 1 ģ ķ ķ Ñ 3 ≤ ķ ≤ ñ / 2 Ñ ķkkkCLIQUE(n,k)CLIQUE(n,k)CLIQUE(n,k)G⊆KnG⊆KnG\subseteq K_nnnnKnKnK_n111GGGkkkKnKnK_n3≤k≤n/23≤k≤n/23\leq k\leq n/2nknkn^k 但是,如果我们采用一个固定图,并考虑单调布尔函数,则该函数接受顶点的子集,并在形成a的某些个顶点时输出集团。在这种情况下对应于变量的顶点的,并且函数只是标准集团功能,但仅限于跨越一个子图的固定图形。 Ç 大号我Q ù ë (ģ ,ķ )š ⊆ [ Ñ ] 1 ķ 小号ģ ķ ÑG⊆KnG⊆KnG\subseteq K_nC大号我Q …

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没有大概率字母时,霍夫曼代码的性能如何?
为概率分布的霍夫曼代码是具有最小加权平均码字长度的前缀码,其中是的长度个codword。一个众所周知的定理是霍夫曼码每个符号的平均长度在和,其中是Shannon熵的概率分布。ppp∑piℓi∑piℓi\sum p_i \ell_iℓiℓi\ell_iiiiH(p)H(p)H(p)H(p)+1H(p)+1H(p)+1H(p)=−∑ipilog2piH(p)=−∑ipilog2⁡piH(p) = -\sum_i \, p_i \log_2 p_i 典型的平均长度超过Shannon熵几乎为1的坏例子是概率分布,例如,其中熵接近0,平均码字长度为1。这给出了熵与码字长度之间的差距几乎为。{.999,.001}{.999,.001}\{.999, .001\}111 但是,当概率分布中的最大概率有界时,会发生什么?例如,假设所有概率均小于。在这种情况下,我可以找到的最大差距是概率分布,例如,其中熵略大于1,平均码字长度略小于1.5,从而得出差距接近。这是您能做到的最好的吗?在这种情况下,您能否给间隙的上限严格小于1?1212\frac{1}{2}{.499,.499,.002}{.499,.499,.002}\{.499, .499, .002\}0.50.50.5 现在,让我们考虑所有概率都非常小的情况。假设你选择了一个概率分布的字母,每个都具有概率。在这种情况下,如果选择则会出现最大的间隙。在这里,您得到大约 在所有概率都小的情况下,这是您能做的最好的吗?MMM1/M1/M1/MM≈2kln2M≈2kln⁡2M \approx 2^k \ln 21+lnln2−ln2ln2≈0.08607.1+ln⁡ln⁡2−ln⁡2ln⁡2≈0.08607. \frac{1 + \ln \ln 2 - \ln 2}{\ln 2} \approx 0.08607. 这个问题是受TCS Stackexchange问​​题启发的。

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寻找好的诱导子图
您将获得具有个顶点的图形。如果需要,它可能是两方的。有套边(例如不相交)。我对找到尽可能小(甚至更小)的子集的问题感兴趣,以便对于归纳图从每个类至少具有一个边。。G = (V,E)G=(V,Ë)G = (V,E)G S E i i = 1 ,… ,mññn米米mË1个,… ,E米⊆ èË1个,…,Ë米⊆ËE_1,\ldots, E_m \subseteq E小号⊆ V小号⊆VS \subseteq VG小号G小号G_SË一世Ë一世E_ii = 1 ,... ,m一世=1个,…,米i=1,\ldots, m 目前,我知道这个问题很难解决。我也有一个不太完全(大致)的近似值。Ø (ñ--√)Ø(ñ)O(\sqrt{n}) 这似乎是一个自然的问题-是否有人知道任何相关的参考文献或更好的算法?

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是否可以测试可计算数字是有理数还是整数?
是否可以通过算法测试可计算数是有理数还是整数?换句话说,将有可能为图书馆实现可计算数提供的功能isInteger还是isRational? 我猜测这是不可能的,并且这在某种程度上与以下事实有关:无法测试两个数字是否相等,但是我看不出如何证明这一点。 编辑:可计算的数字xxx由函数给出,该函数fx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)可以返回精度为ϵ的的有理近似值:| x − f x(ϵ )| ≤ ε,对于任何ε &gt; 0。鉴于这样的功能,就是可以测试,如果X ∈ Q或X ∈ ž?xxxϵϵ\epsilon|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonϵ&gt;0ϵ&gt;0\epsilon > 0x∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}x∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}
18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 

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解决跳数迷宫
我8岁的孩子已经厌倦了创建常规迷宫的工作,并开始创建如下所示的变体: 这个想法是从x开始并通过常规规则到达o。另外,您可以从任何整数跳到任何其他整数b,但是您必须支付| a − b | 美元的特权。目标是以最低的成本解决迷宫问题。在上面的示例中,我们可以以成本5通过x-14-18-27-28-o从x转到o,但仅花费x-13-11-9-8-29-28-o便宜4。一种aabbb| a−b ||a−b||a-b| 所以这是我的问题:解决该问题的最佳解决方案(就渐近运行时间而言)是什么?您可以对输入格式做出任何合理的假设。 注意:我在这里使用“ puzzles”标签是因为我想到的是答案,但是我不确定它是否是最佳选择,并且想看看是否有人可以改善我的解决方案。(这里n是迷宫中的整数数。)Ø (ñ2)O(n2)O(n^2)ñnn

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最小累积设置和
考虑以下问题:给定有限集列表,找到最小化的顺序。s1,s2,s3,…s1,s2,s3,…s_1, s_2, s_3, \ldots|s1|+|s1∪s2|+|s1∪s2∪s3|+…|s1|+|s1∪s2|+|s1∪s2∪s3|+…|s_1| + |s_1 \cup s_2| + |s_1 \cup s_2 \cup s_3| + \ldots 是否有已知的算法?它的复杂性是什么?我还没有想到一种有效的最佳算法,但是在NP-Hard中也不是很明显。

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计算DFA的最小NFA
许多年前,我听说从DFA(确定性)计算最小NFA(不确定性有限自动机)是一个悬而未决的问题,而反之亦然,数十年来已知的方向相反,并且对有效算法。有没有人想出一种算法?Ø(ñ LGñ)Ø(ñlg⁡ñ)O(n \lg n) 快速搜索后给了我这篇论文,证明这绝对是一个难题。显然,没有给出算法。 [1] 最小的NFA问题很难解决/陶江和B. Ravikumar CS.SE网站上的以下问题使我想起了这个问题,该问题与DFA-&gt; NFA最小化算法密切相关。在我看来,以下问题是研究水平。我建议将其迁移到TCS,并写了一个答案,建议进行统计/经验攻击。 [2] 对于NFA,其等效DFA达到最大尺寸的条件是什么?

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近似求解线性二阶方程
考虑以下问题: 输入:一个超平面ħ = { ý ∈ [R Ñ:一个 Ť Ŷ = b }H={y∈Rn:aTy=b}H = \{ \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n: \mathbf{a}^T\mathbf{y} = {b}\},由矢量给定一个 ∈ Ž Ña∈Zn\mathbf{a} \in \mathbb{Z}^n和b ∈ Žb∈Zb \in \mathbb{Z}在标准二进制表示。 X ∈ ž Ñ = ARG 分钟d (X,ħ )x∈Zn=argmind(x,H)\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n = \arg \min d( \mathbf{x}, H) 在上面的符号,和被定义为,即,这是一组点与单个点之间的自然欧氏距离。d (X,小号)d(x,S)d(\mathbf{x}, S)X …

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Bob的销售(对具有约束的对进行重新排序以最大程度地减少产品总和)
我前一阵子在Stack Overflow上问过这个问题:问题:Bob的sale。有人建议也将问题张贴在这里。 有人已经在这里提出了与此问题相关的问题- 给定基数的最小重量子森林 -但据我了解,这对我的问题没有帮助。StackOverflow上评分最高的答案也值得一看。 这是我的StackOverflow问题的逐字记录副本。该网站的格式可能不适当(哎呀,我只是在这里问这个问题而感到没有足够的知识),因此可以随时对其进行编辑: 注意:这是对现实生活中有关对SWF文件中的记录进行排序的问题的抽象措词。一个解决方案将帮助我改善开源应用程序。 鲍勃(Bob)有一家商店,并想进行销售。他的商店有许多产品,并且每种库存产品都有一定数量的单位数量。他还具有许多在架子上安装的价格标签(与产品数量一样多),并且价格已经打印在标签上。他可以在任何产品上贴上任何价格标签(该产品的全部库存价格统一为一件产品),但是某些产品还有其他限制-任何此类产品可能都不比某些其他产品便宜。 您必须找到如何安排价格标签的方法,以使鲍勃所有商品的总成本尽可能低。总成本是每种产品分配的价格标签的总和乘以该产品的库存数量。 鉴于: N –产品数量和价格标签 小号我,0≤ 我 &lt;N -与指数产品的库存数量我(整数) P Ĵ,0≤ Ĵ &lt;N -具有索引价格标签上的价格Ĵ(整数) K –附加约束对的数量 甲ķ,B ķ,0≤ ķ &lt;K -产品指数对附加的约束 任何产品索引最多只能在B中出现一次。因此,由该邻接表形成的图实际上是一组有向树。 该程序必须找到: 中号我,0≤ 我 &lt;N -从产品索引映射到价格标签指数(P 中号我是产品的价格我) 满足条件: P 中号甲ķ ≤P 中号乙ķ,对于0≤ ķ &lt;K Σ(š 我 ×P 中号我)为0≤ 我 &lt;N是最小 请注意,如果不是针对第一个条件,则解决方案将是简单地按价格对标签进行排序,并按数量对产品进行排序,然后直接将二者进行匹配。 输入的典型值为N,K …

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