Questions tagged «matrices»

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寻找矩阵特征分解的复杂性
我的问题很简单: 计算矩阵的本征分解的最著名算法的最坏情况下的运行时间是多少?n×nn×nn \times n 本征分解是减少到矩阵乘法还是在最坏的情况下是最著名的算法(通过SVD)?O(n3)O(n3)O(n^3) 请注意,我要求的是最坏情况的分析(仅就),而不是要求与问题相关的常数(如条件编号)的范围。nnn 编辑:给出以下一些答案,让我调整一下问题:我会对近似感到满意。近似值可以是乘法,加法,逐项输入或任何您想要的合理定义。我感兴趣的是,是否存在一种比对依赖性更好的算法?ϵϵ\epsilonnnnO(poly(1/ϵ)n3)O(poly(1/ϵ)n3)O(\mathrm{poly}(1/\epsilon)n^3) 编辑2:请参见对称矩阵上的相关问题。

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矩阵乘法不在
通常认为,对于所有ϵ > 0ϵ>0\epsilon > 0,可以在O (n 2 + ϵ)时间内将两个n × nn×nn \times n矩阵相乘。一些讨论在这里。Ø (ñ2 + ϵ)O(n2+ϵ)O(n^{2 + \epsilon}) 我问过一些对研究更熟悉的人,他们是否认为存在独立于n的k > 0k>0k>0,以至于存在用于矩阵乘法的O (n 2 log k n )算法,并且他们绝大多数都具有直觉答案是“否”,但无法解释原因。也就是说,他们认为我们可以在O (n 2.001)时间内完成此操作,但不能在O (n 2 log 100 n )时间内完成。ñnnØ (ñ2日志ķn )O(n2logk⁡n)O(n^2 \log^k n)Ø (ñ2.001)O(n2.001)O(n^{2.001})Ø (ñ2日志100n )O(n2log100⁡n)O(n^2 \log^{100} n) 有什么理由相信在固定k > 0时没有Ø (ñ2日志ķn )O(n2logk⁡n)O(n^2 \log^k …

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矩阵供电的复杂性
令为平方整数矩阵,令为正整数。我对以下决策问题的复杂性感兴趣:MMMnnn 的右上角条目是否为正?MnMnM^n 请注意,迭代平方的明显方法(或任何其他显式计算)要求我们潜在地处理双指数幅度的整数,即具有成倍的位数。但是,该问题很容易在Allender等人的“ PosSLP”类(“关于数值分析的复杂性”,SIAM J. Comput。38(5))中找到,因此在计数层次结构的第四层。 1)是否可以将此矩阵供电问题放在较低复杂度的类别中? 2)如果没有,可以想象它对PosSLP很难吗? 3)我对低维矩阵的矩阵乘方问题特别感兴趣,即不超过6x6的矩阵。这样的矩阵的复杂度可能更低吗?

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近似矩阵的符号秩
具有+ 1,-1项的矩阵A的符号秩是矩阵B的最小秩(在实数上),矩阵B与A具有相同的符号模式(即,对于所有i ,,j)。这个概念对于交流复杂性和学习理论很重要。一种我Ĵ乙我Ĵ> 0AijBij>0A_{ij}B_{ij}>0我,Ĵi,ji,j 我的问题是:是否有任何已知的(次指数时间)算法将矩阵的符号秩近似为?o (n )o(n)o(n) (我知道就频谱范数而言,Forster在符号秩上的下限,但这通常不会产生比更好的逼近比。)Ω (n )Ω(n)\Omega(n)

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Coppersmith–Winograd算法的空间复杂度
Coppersmith–Winograd算法是渐近最快的已知算法,用于将两个平方矩阵相乘。他们的算法的运行时间为 ,这是迄今为止最著名的。该算法的空间复杂度是多少?它在吗?n×nn×nn \times nO(n2.376)O(n2.376)O(n^{2.376})Θ(n2)Θ(n2)\Theta(n^2)

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关于两个矩阵的问题:敏感性猜想的证明中的Hadamard诉“神奇的一个”
最近,令人难以置信的光滑的灵敏度猜想的证明依赖于基质的显式*施工An∈{−1,0,1}2n×2nAn∈{−1,0,1}2n×2nA_n\in\{-1,0,1\}^{2^n\times 2^n},递归地定义如下: A1=(0110)A1=(0110)A_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix} 并且,对于n≥2n≥2n\geq 2, An=(An−1In−1In−1−An−1)An=(An−1In−1In−1−An−1)A_{n} = \begin{pmatrix} A_{n-1}&I_{n-1}\\I_{n-1}&-A_{n-1}\end{pmatrix} 具体地,可以很容易地看到,A2n=nInAn2=nInA_n^2 = n I_n所有n≥1n≥1n\geq 1。 现在,也许我对此读得太多,但这至少在语法上与另一个著名的矩阵族Hadamard矩阵有关,该矩阵也使得H2n∝InHn2∝InH_n^2 \propto I_n且具有“相似”谱: H1=(111−1)H1=(111−1)H_1 = \begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix} ,并且对于n≥2n≥2n\geq 2, Hn=(Hn−1Hn−1Hn−1−Hn−1)Hn=(Hn−1Hn−1Hn−1−Hn−1)H_{n} = \begin{pmatrix} H_{n-1}&H_{n-1}\\H_{n-1}&-H_{n-1}\end{pmatrix} 两者之间是否有任何正式的联系(可能有用),只是“它们看起来模糊不清”? 例如,AnAnA_n视为超立方体的签名邻接矩阵{0,1}n{0,1}n\{0,1\}^n有一个很好的解释(边缘的符号(x,b,x′)∈{0,1}n(x,b,x′)∈{0,1}n(x,b,x')\in\{0,1\}^n是的奇偶前缀xxx)。HnHnH_n有类似物吗?(这可能很明显吗?) ∗∗^*我还想知道非显式结构(例如均匀随机的±1±1\pm1矩阵)是否具有所需的光谱特性,但这可能要等待另一个问题。

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显式平衡矩阵
是否有可能建立一个明确的用-矩阵那些使得每个子矩阵包含小于的呢?0 / 1N×NN×NN \times N 0/10/10/1 Ñ 0.499 × Ñ 0.499 Ñ 0.501N1.5N1.5N^{1.5}N0.499×N0.499N0.499×N0.499N^{0.499} \times N^{0.499}N0.501N0.501N^{0.501} 或者,可能可以为此类属性建立显式命中集。 可以很容易地看出,随机矩阵具有此特性,其概率指数接近。而且,膨胀机混合引理不足以得出该性质。111 我猜想愚蠢的组合矩形可以帮助伪随机生成器,但是它们是为均匀分布而设计的,我在这里基本上需要。B(N2,N−0.5)B(N2,N−0.5)B(N^2, N^{-0.5})

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正拓扑排序,取3
假设我们有一个n×n矩阵。是否可以对其行和列进行重新排序,以便获得上三角矩阵? 此问题是由以下问题引起的: 正拓扑排序 最初的决策问题至少与这一决策一样困难,因此NP完全性结果也可以解决该问题。 编辑:拉斯洛·沃(Laszlo Vegh)和安德拉斯·弗兰克(Andras Frank)提请我注意甘特·罗特(Gunter Rote)提出的同等问题:http : //lemon.cs.elte.hu/egres/open/Graphs_extendable_to_a_uniquely_matchable_bipartite_graph 编辑:对原始问题的减少如下。假设DAG只有两个级别,这些级别将对应于矩阵的行和列。另外,我们有一个权重为+1的单个节点。较低级别的其他人的权重为-1,较高级别的其他人的权重为+1。

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判断矩阵是否完全规则的复杂性
如果矩阵的所有平方子矩阵都具有完整秩,则称该矩阵为完全规则。此类矩阵用于构造超浓缩器。确定给定矩阵是否在理性上完全规则的复杂性是什么?在有限的领域? 更一般而言,如果其大小最大为k的所有平方子矩阵都具有完整秩,则称该矩阵为全正则。给定一个矩阵和一个参数k,确定矩阵是否完全为k正则的复杂度是多少?kkkkkkkkkkkk

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是否可以测试可计算数字是有理数还是整数?
是否可以通过算法测试可计算数是有理数还是整数?换句话说,将有可能为图书馆实现可计算数提供的功能isInteger还是isRational? 我猜测这是不可能的,并且这在某种程度上与以下事实有关:无法测试两个数字是否相等,但是我看不出如何证明这一点。 编辑:可计算的数字xxx由函数给出,该函数fx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)可以返回精度为ϵ的的有理近似值:| x − f x(ϵ )| ≤ ε,对于任何ε > 0。鉴于这样的功能,就是可以测试,如果X ∈ Q或X ∈ ž?xxxϵϵ\epsilon|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonϵ>0ϵ>0\epsilon > 0x∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}x∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}
18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 

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高斯复杂度的下界
定义高斯复杂的的矩阵是需要使矩阵成上三角形式的基本的行和列操作的最小数量。这是一个介于0和n 2之间的量(通过高斯消除)。这个概念在任何领域都有意义。n × nn×nn \times n000ñ2n2n^2 这个问题似乎很基础,必须进行研究。令人惊讶的是,我没有任何参考。因此,我会很高兴有任何参考。但是,当然,主要问题是: 是否有任何不平凡的显式下界? 非平凡的意思是超线性。只需清楚一点:在有限域上,一个计数参数表明随机矩阵的复杂度为n ^ 2(在无限域上,类似的主张也应成立)。因此,我们正在寻找的是显式矩阵族,例如Hadmard矩阵。这与布尔电路复杂度相同,我们知道随机函数具有很高的复杂度,但是我们正在寻找具有此属性的显式函数。

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Strassen算法中选择矩阵的背后有更大的图景
在Strassen算法中,要计算两个矩阵和B的乘积,将矩阵A和B划分为2 × 2块矩阵,并且该算法以递归方式计算7个块矩阵矩阵乘积,而不是朴素的8块矩阵-基质的产品,即,如果我们想ç = 甲乙,其中 甲 = [ 阿1 ] , 乙 = [ 乙1 ,1个乙1 ,2 乙一种一种\mathbf{A}乙乙\mathbf{B}一种一种\mathbf{A}乙乙\mathbf{B}2 × 22×22 \times 2777888C = A BC=一种乙\mathbf{C}=\mathbf{A} \mathbf{B} 然后,我们有 Ç1,1=阿1,1个乙1,1+阿1A = [ A1 ,1一种2 ,1一种1 ,2一种2 ,2] , B = [ B1 ,1乙2 ,1乙1 ,2乙2 ,2] , C = [ C1 ,1C2,1C1 …

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相似矩阵
给定两个 ×矩阵和,确定是否存在置换矩阵使得等于(图同构)的问题。但是,如果我们放松使其只是一个可逆矩阵,那么复杂度是多少?除了作为一个排列之外,对可逆矩阵是否还有其他限制,将这个问题与其他困难问题联系起来?A B P B = P − 1 A P P Pn×nn×nn \times nAAABBBPPPB=P−1APB=P−1APB = P^{-1}APGIPPPPPPGI

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如何计算平方矩阵的幂?
假设我们给定矩阵,令。我们能以多快的速度计算该矩阵的功率?A∈RN×NA∈RN×NA \in \mathbb R^{N\times N}m∈N0m∈N0m \in \mathbb N_0AmAmA^m 与计算乘积相比,下一个最好的事情是利用快速指数,这需要矩阵乘积。mmmO(logm)O(log⁡m)\mathcal O(\log m ) 对于可对角化的矩阵,可以使用特征值分解。它的自然概括,约旦分解,在插管下不稳定,因此不算在内(afaik)。 一般情况下可以加快矩阵求幂吗? 快速指数说明此问题的变体也很有用: 通用矩阵A的平方AAA可以比已知的矩阵乘法算法更快地计算吗?

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我们可以决定一个永久物是否具有唯一的期限?
假设我们得到一个n×n矩阵M,其中有整数项。我们可以决定在P是否有一个置换使得对所有排列π ≠ σ我们有Π 中号我σ (我) ≠ Π 中号我π (我)?σσ\sigmaπ≠ σπ≠σ\pi\ne\sigmaΠ 中号我σ(我)≠ Π 中号我π(我)Π中号一世σ(一世)≠Π中号一世π(一世)\Pi M_{i\sigma(i)}\ne \Pi M_{i\pi(i)} 备注。当然可以用总和替换产品,问题仍然存在。 如果矩阵只能有0/1个条目,那么我们将得出Bipartite-UPM问题,甚至在NC中也是如此。 编辑:如果我们允许随机归约,则确定最小项是否唯一是NP-hard。实际上,我最初想提出这个问题,因为它可以帮助解决这个问题。现在事实证明这是NP完全的,所以让我为我们的问题画出简化。假设输入是一个零一矩阵(我们可以假设),然后用2到2 + 1 / n之间的随机实数替换零项。现在,在此新矩阵中,当且仅当原始矩阵可置换为上三角形式时,最小项才是唯一的。 编辑:类似问题: 在边缘加权图中,是否存在具有唯一权重的哈密顿环? 如果我们有一个将权重分配给每个变量/令人满意的分配器的CNF,是否有一个唯一的权重满足分配条件? 这些当然至少是NP难的。这些问题与原始问题是否相等或更难?

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