我们可以决定一个永久物是否具有唯一的期限？

假设我们得到一个n×n矩阵M，其中有整数项。我们可以决定在P是否有一个置换使得对所有排列π ≠ σ我们有Π 中号我σ （我） ≠ Π 中号我π （我）？$\sigma$$\pi\ne\sigma$$\Pi M_{i\sigma(i)}\ne \Pi M_{i\pi(i)}$

备注。当然可以用总和替换产品，问题仍然存在。

如果矩阵只能有0/1个条目，那么我们将得出Bipartite-UPM问题，甚至在NC中也是如此。

编辑：如果我们允许随机归约，则确定最小项是否唯一是NP-hard。实际上，我最初想提出这个问题，因为它可以帮助解决这个问题。现在事实证明这是NP完全的，所以让我为我们的问题画出简化。假设输入是一个零一矩阵（我们可以假设），然后用2到2 + 1 / n之间的随机实数替换零项。现在，在此新矩阵中，当且仅当原始矩阵可置换为上三角形式时，最小项才是唯一的。

编辑：类似问题：

在边缘加权图中，是否存在具有唯一权重的哈密顿环？

如果我们有一个将权重分配给每个变量/令人满意的分配器的CNF，是否有一个唯一的权重满足分配条件？

这些当然至少是NP难的。这些问题与原始问题是否相等或更难？

好问题！不难得出这样的结论：如果一个人可以解决您的问题，那么一个人也可以解决以下问题，称为ISOLATED SUBSET SUM：

给定整数a ₁，...，a _n，是否存在a _i的子集S，其总和未由任何其他子集共享？

通过首先将ISOLATED SUBSET SUM简化为ISOLATED PERFECT MATCHING来进行归约，在给定加权二部图G的情况下，我们希望找到其权重不与任何其他完美匹配共享的完美匹配。这种简化很简单：对于每个i，在G中创建一个2x2完整的子图G _i，这样我们为G _i选择的两个可能匹配中的哪一个将编码我们对_i是否在集合S中的选择。

接下来，按以下步骤将隔离完美匹配减少到您的问题：

1. 对于所有i，j，如果边（i，j）存在且权重为w _ij，则设置M _ij：= exp（w _ij）。（这将总和转化为产品。）
2. 对于所有i，j，如果边（i，j）不存在，则设置M _ij：= 0。
3. 填充M以确保存在两个或更多个置换π，使得ΠM _{i，π（i）} =0。（这排除了不对应于G中任何完美匹配的虚假解。）

现在，孤立子集和肯定感觉就像是至少NP-辛苦，也许是更难比（明显的上限仅为Σ ₂ P）！此外，也许可以使用Valiant-Vazirani风格的随机归约法证明ISOLATED SUBSET SUM是NP-hard。但是，这是我留给别人的挑战...