正拓扑排序，取3

假设我们有一个n×n矩阵。是否可以对其行和列进行重新排序，以便获得上三角矩阵？

此问题是由以下问题引起的： 正拓扑排序

最初的决策问题至少与这一决策一样困难，因此NP完全性结果也可以解决该问题。

编辑：拉斯洛·沃（Laszlo Vegh）和安德拉斯·弗兰克（Andras Frank）提请我注意甘特·罗特（Gunter Rote）提出的同等问题：http : //lemon.cs.elte.hu/egres/open/Graphs_extendable_to_a_uniquely_matchable_bipartite_graph

编辑：对原始问题的减少如下。假设DAG只有两个级别，这些级别将对应于矩阵的行和列。另外，我们有一个权重为+1的单个节点。较低级别的其他人的权重为-1，较高级别的其他人的权重为+1。

问题原来是NP完全的。您可以在此处和此处详细阅读。简短的摘要：

减少是由于Dasgupta，Jiang，Kannan，Li和Sweedyk已证明是NP完全的问题：给定二部图G和整数k，请确定G是否在2k节点上具有可归纳的子图，并且可以扩展为具有独特的可匹配性。斯特凡·维亚莱特（StéphaneVialette）观察到，如果我们将nk个隔离的节点添加到两个类中，则这将简化为该问题的两部分唯一匹配版本。

注意：这是基于推测和传闻的部分答案！大卫·埃普斯坦（David Eppstein）较为笼统的问题是NP完全问题，也许这个问题在P中。

$(A \cup B, E)$$|A|=|B|=n$

• 它不能包含2个完美匹配，
• $\le (1, 2, ..., n)$

到目前为止，我还没有找到任何一个图形满足这些条件的示例，但是不能成为UPMX。在这种情况下，也许就足够了。可以通过以下算法证明这一点：

1. 如果图形具有> 1个完美匹配，则返回“ not UPMX”
2. 如果图形未达到度条件，则返回“ not UPMX”
3. 如果图形具有= 1个完美匹配，则返回“ UPMX”
4. 否则，也许我们可以证明它是UPMX。也许以下算法可以证明这一点：
   • 而图形具有边，$\le \tbinom{n+1}{2} - 2$
   • 找到一些新的边e，其加法不会产生完美匹配并且不违反度条件；将e添加到图中
5. 现在该图具有边且没有完美匹配，并且满足度条件。我认为并不难证明它是UPMX，因此原始图形也是如此。$\tbinom{n+1}{2} - 1$

您可以使用霍尔定理来表征哪些新边将创建完美的匹配，并且不难描述哪些新边将违反度边界。不幸的是，即使确实存在正确类型的边缘，我也无法证明这一点。

本文通过用独立的行列排列 Fertin，Rusu和Vialette 获得三角形矩阵，表明该问题对于二进制平方矩阵是NP完全的。

问题是NP完全的，但是解决它的算法在哪里呢？我有一种适用于许多示例的算法，但是无法证明其始终有效。