正拓扑排序

假设我有一个有向无环图，其顶点具有实数权重。我想找到DAG的拓扑顺序，其中对于拓扑顺序的每个前缀，权重的总和为非负数。或者，如果您更喜欢顺序理论术语，则我有一个加权偏序，并且我想要一个线性扩展，这样每个前缀的权重都为非负数。对这个问题了解多少？在多项式时间内是NP完全的还是可解的？

这个问题似乎与最小化最大累积成本的序列化（在Garey＆Johnson中的问题[SS7]）非常相似。以机智：

实例：Set 任务，偏序的≺上Ť中，“成本” Ç （吨）∈ ž每个吨∈ Ť（如果Ç （吨）< 0，它可以被看作是一个“利润”），和一个恒定ķ ∈ ž。$T$$\prec$$T$$c(t) \in Z$$t \in T$$c(t) < 0$$K \in Z$

问：是否有一个处理器时间表为牛逼的是服从优先约束，并且具有这样的性质，每个任务牛逼∈ 牛逼，所有任务的成本的总和牛逼'与σ （牛逼'）≤ σ （t ）最多为K？$\sigma$$T$$t \in T$$t'$$\sigma(t') \leq \sigma(t)$$K$

我不确定问题是否保持NP完全时固定为0 G＆J提及的是，问题仍然存在NP完全如果Ç （吨）∈ { - 1 ，0 ，1 }的所有吨∈ Ť。$K$$c(t) \in \{-1,0,1\}$$t \in T$

好吧，我的回答是我的问题，从这个问题中可以发现，如果您可以在P中解决此问题，那么您还可以解决另一个未解决的问题： 正拓扑排序，取3

编辑：这个问题也被证明是NP完全的，所以如果您的DAG只有两个级别，即如果没有带两个边的定向路径，那么您的问题就已经是NP完全的了。

如果我对问题的理解正确，我认为可以将优先约束单机调度问题减至最小，以使完成时间的加权总和（1 | prec | \ sum wc）减少到您感兴趣的问题。在问题1 | prec | \ sum wc中，我们有n个作业，每个作业的权重和处理时间均为非负数，在作业上具有一定的坐姿，我们希望线性地扩展作业，以使作业完成时间的加权总和为最小化。即使我们假设每个作业的处理时间等于1，问题仍然是NP完全的。这有意义吗？

如果我们总是以最小的权重取最大的元素（按部分顺序）怎么办。耗尽元素后，我们以相反的顺序返回它们作为输出。

这个问题使我想起了很多决策树。我会考虑这种解决方案，它试图始终选择最有前途的途径，但是要看整个子图：

从接收器节点开始，朝着源的方向工作，一次一层。在执行此操作时，给每个边缘赋予权重。此权重应表示您必须“支付”的最低金额，否则您将通过从边缘指向的节点开始遍历子图来“获利”。假设我们处于i + 1级别，而我们正在上升至i级别。这就是我要为指向级别为i的节点的边缘分配权重的方法：

1. edge_weight =指向节点的权重。
2. 查找具有最大权重的，从“指向节点”开始的边。将此权重设为next_edge_weight。
3. edge_weight + = next_edge_weight

然后，如下构建订单：

1. 令S为搜索边界，即下一步要选择的节点集。
2. 选择节点，以使（node_weight + maximum_edge_weight）最大化。
3. 从图形和S中删除该节点。将节点的“子级”添加到S。
4. 如果图形不为空，请转到步骤1。
5. 停。

想法是先遍历那些子图，这些子图将首先获得尽可能多的收益，以便以后能够承担负权重子图的成本。