Questions tagged «partial-order»

偏序是自反,反对称和可传递的集合上的二元关系。

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正拓扑排序
假设我有一个有向无环图,其顶点具有实数权重。我想找到DAG的拓扑顺序,其中对于拓扑顺序的每个前缀,权重的总和为非负数。或者,如果您更喜欢顺序理论术语,则我有一个加权偏序,并且我想要一个线性扩展,这样每个前缀的权重都为非负数。对这个问题了解多少?在多项式时间内是NP完全的还是可解的?

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二元搜索的二元搜索概括?
假设我在S上有一个位姿“ S”和一个单调谓词“ P”。我想找到S的一个或所有满足P的最大元素。 编辑:我有兴趣减少P的评估数量。 存在针对此问题的哪些算法,它们在S上需要哪些属性和其他操作? 重要的特殊情况如何,例如: S是线性顺序-只要您执行“查找中间”操作,常规二进制搜索就可以工作 S是一个晶格 S是子集格 S是一个多集格 ... 后两种情况似乎特别重要,例如对于实验设计-您具有一组布尔值或实际参数,并且您希望找到它们的最小组合以重现特定模式(例如失败的测试)。

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我们可以多快计算一个集合族的集合包含条件?
给定一组家庭FF\mathcal{F}宇宙的子集的UUU。让S1,S2∈FS1,S2∈FS_1,S_2 \in \mathcal F,我们想答案是S1⊆S2S1⊆S2S_1 \subseteq S_2。 我正在寻找一种数据结构,可以使我快速回答这一问题。我的应用程序来自图论,我想查看删除顶点及其邻域是否会留下任何孤立的顶点,并针对每个顶点列出它留下的所有孤立的顶点。 我想创建完整的球型或最终创建|F|2|F|2|\mathcal{F}|^2表,其中存储true或false准确地告诉您哪些集合是彼此的子集。 让m=∑S∈F|S|m=∑S∈F|S|m = \sum_{S\in \mathcal{F}} |S|,u=|U|u=|U|u = |U|和n=|F|n=|F|n = |\mathcal{F}|中,假定u,n≤mu,n≤mu,n \leq m 我们可以生成n×un×un \times u在容纳基质(二分图)O(un)O(un)O(un)的时间,然后可以创建所有的表n2n2n^2在比较O(nm)O(nm)O(nm)通过对每个设定时间S∈FS∈FS \in \mathcal{F},遍历所有所有其它组的元素和标记组为不的一个子集SSS,如果他们的元件不处于SSS。总计O(nm)O(nm)O(nm)时间。 我们可以更快地做任何事情吗?特别是O((n+u)2)O((n+u)2)O((n+u)^2)时间是否可能? 我找到了一些相关文章: 一种计算子集偏序的简单亚二次算法(1995) ,给出了Ô (米2/升ø克(米))O(m2/log(m))O(m^2 / log(m))算法。 子集偏序:计算和组合略有改进,但还声称上述论文解决了ø (米d)O(md)O(md)时间的问题,其中ddd是共享公共元素的最大集合数,但我无法理解该结果。 在文章之间O (n 米)O(nm)O(nm)和Ø (ñα)O(nα)O(n^{\alpha})作者展示如何在曲线图通过使用矩阵乘法删除顶点的闭邻域后发现连接的组件。通过查找运行时间为所有单调分量,可以将其用于计算集合包含姿态O ((n + u )2.79)O((n+u)2.79)O((n+u)^{2.79})。 这个论坛的讨论也与之相关:检查集合包含的最快方法是 什么? 这意味着的下界Ø (ñ2 − ϵ)O(n2−ϵ)O(n^{2-\epsilon})。

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位置受限的拓扑排序的复杂性
我得到个顶点的DAG作为输入,其中每个顶点都另外加上了一些。GGGnnnxxxS(x)⊆{1,…,n}S(x)⊆{1,…,n}S(x) \subseteq \{1, \ldots, n\} 甲拓扑排序的是一个双射从顶点到,使得对所有,,如果有从一个路径到在然后。我想决定是否存在的拓扑排序,这样对于所有,。GGGfffGGG{1,…,n}{1,…,n}\{1, \ldots, n\}xxxyyyxxxyyyGGGf(x)≤f(y)f(x)≤f(y)f(x) \leq f(y)GGGxxxf(x)∈S(x)f(x)∈S(x)f(x) \in S(x) 这个决策问题的复杂性是什么? [注意:显然这是在NP中。如果查看允许的顶点/位置对的图,并且成对之间的无向边会因为违反顺序而发生冲突,那么您会得到一个不连续的图,每个图最多要选择一对,每个图最多要选择一对位置,每个顶点最多一对-似乎与3维匹配有关,但我看不出使用此特定问题的附加结构是否仍然困难。

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在波塞上学习单调谓词所需的最坏问题数量
考虑的有限偏序超过项,并且在一个未知的单调谓词(即,对于任何,,如果和然后)。我可以通过提供一个节点并确定成立来评估我的目标是使用最少的值来确定确切的节点的集合,从而使成立。(X,≤)(X,≤)(X, \leq)nnnPPPXXXxxxy∈Xy∈Xy \in XP(x)P(x)P(x)x≤yx≤yx \leq yP(y)P(y)P(y)PPPx∈Xx∈Xx \in XP(x)P(x)P(x)x∈Xx∈Xx \in XP(x)P(x)P(x)PPP尽可能。(我可以根据之前所有查询的答案选择查询,而无需提前计划所有查询。) 策略 over是一个函数,该函数根据我到目前为止所进行的查询以及它们的答案,告诉我要查询的节点以及通过遵循该策略来确保在任何谓词上告诉我,我将达到一种状态,在该状态下我知道所有节点上的值。运行时间的上的谓词是需要查询的数量就知道了值所有节点上。的最差运行时间是。最优策略使得。SSS(X,≤)(X,≤)(X, \leq)PPPPPPr(S,P)r(S,P)r(S, P)SSSPPPPPPSSSwr(S)=maxPr(S,P)wr(S)=maxPr(S,P)wr(S) = \max_P r(S, P)S′S′S'wr(S′)=minSwr(S)wr(S′)=minSwr(S)wr(S') = \min_S wr(S) 我的问题如下:作为输入的poset (X,≤)(X,≤)(X, \leq),如何确定最佳策略的最差运行时间? [很明显,对于一个空的poset,将需要nnn查询(我们需要询问每个单个节点),并且对于\ lceil \ log_2 n个\ rceil的总顺序⌈log2n⌉⌈log2⁡n⌉\lceil \log_2 n \rceil将是必需的(进行二进制搜索以查找边境)。一个更一般的结果是以下信息理论下限:谓词P的可能选择PPP数是(X,\ leq)的反链数N_X(因为单调谓词与A之间的一对一映射)反链解释为P的最大元素,因此,由于每个查询给我们提供了一点信息,因此我们至少需要\ lceil \ log_2 N_X \ rceilNXNXN_X(X,≤)(X,≤)(X, \leq)PPP⌈log2NX⌉⌈log2⁡NX⌉\lceil \log_2 N_X \rceil查询,并包含前两种情况。是束缚很紧吗,还是它们是一些结构使得学习可能比反链数量渐近地需要更多查询的姿势?]

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正在计算不可比性图#P-complete中的最大集团吗?
这个问题是由Peng Zhang的MathOverflow问题引起的。Valiant指出,在一般图形中对最大团进行计数是#P完全的,但是如果我们限制于不可比性图形(即,我们要在有限的姿态中对最大反链进行计数)怎么办?这个问题看起来很自然,以至于我怀疑以前已经考虑过它,但是我无法在文献中找到它。

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在幂单调谓词的最小元素
考虑幂集2 |上的单调谓词n | (按包含顺序排序)。通过“单调”我的意思是:∀ X ,ÿ ∈ 2 | n | 使得X ⊂ ÿ,如果P (X )然后P (Ý )。我在寻找一种算法来找到所有的最小元素P,即X ∈ 2 | n | 使得P (x )PPP2| n |2|n|2^{|n|}∀ X ,ÿ∈ 2| n |∀x,y∈2|n|\forall x, y \in 2^{|n|}X ⊂ ÿx⊂yx \subset yP(x )P(x)P(x)P(y)P(y)P(y)PPPX ∈ 2| n |x∈2|n|x \in 2^{|n|}P(x )P(x)P(x)但∀ ÿ⊂ …

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正拓扑排序,取2
这是大卫·爱普斯坦最近提出的问题的后续行动,也是出于同样的问题。 假设我在其顶点上有实数权重。最初,所有顶点均未标记。我可以通过以下方式更改标记顶点的集合:(1)标记没有未标记的前任顶点的顶点,或者(2)标记没有标记的后继顶点的顶点。(因此,标记顶点的集合始终是部分顺序的前缀。)我想找到一系列标记/取消标记操作,并以所有标记的顶点结尾,这样标记顶点的总权重始终为非负数。 找到这样一系列操作有多难? 与David的问题不同,甚至不清楚该问题是否在NP中。原则上(尽管我没有任何示例),每个合法举动序列都可以具有指数长度。我能证明的最好的问题是PSPACE。 取消标记操作实际上是不必要的吗? 如果存在有效的移动序列,是否必须有一个永不取消标记顶点的有效移动序列?为肯定会使这个问题等同于大卫。另一方面,如果有时需要取消标记,则应使用一个较小的(恒定大小)示例来证明这一点。

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枚举顶点标记DAG的拓扑种类
令是有向无环图,令是将每个顶点映射到某个有限字母的标签的标记函数。写中,拓扑排序的是一个双射从至(即,的排序中的序列),以使得无论何时然后(即,如果存在从到的边G=(V,E)G=(V,E)G = (V, E)λλ\lambdav∈Vv∈Vv \in Vλ(v)λ(v)\lambda(v)LLLn:=|V|n:=|V|n := |V|GGGσσ\sigma{1,…,n}{1,…,n}\{1, \ldots, n\}VVVVVV(v,v′)∈E(v,v′)∈E(v, v') \in Eσ−1(v)&lt;σ−1(v′)σ−1(v)&lt;σ−1(v′)\sigma^{-1}(v) < \sigma^{-1}(v')vvvv′v′v'然后出现在序列中的之前)。所述标签的是单词在。vvvv′v′v'σσ\sigmaσ(1)⋯σ(n)σ(1)⋯σ(n)\sigma(1) \cdots \sigma(n)LnLnL^n 给定,我想高效地枚举的拓扑类型的标签。枚举拓扑类别的标签的复杂性是什么?当然,由于可能有成倍的指数增长,我想研究复杂度与输出大小或延迟的关系。特别是,可以使用多项式延迟执行枚举吗?(甚至是持续的延迟?)(G,λ)(G,λ)(G, \lambda)GGG 在所有顶点都带有不同标签的情况下(或者,等价地,顶点被自己标记为),我知道标签可以在固定的摊销时间内枚举,其结果是枚举位姿的线性扩展(与枚举DAG的拓扑种类相同)。但是,当任意标注顶点时,可能会出现大量拓扑类别具有相同标签的情况,因此,您不能仅枚举拓扑类别并计算其标签以获得一种枚举标签的有效方法。用poset术语,标记的DAG可以看作是标记的GGG{1,…,n}{1,…,n}\{1, \ldots, n\}GGG(G,λ)(G,λ)(G, \lambda) 姿态,而我找不到这些的枚举结果。 由于这里有其他问题的答案,我已经知道一些相关问题的难度。特别是,我知道在字典上找到最小的标签是NP-hard。我也知道,确定给定的标签是否可以通过某种拓扑排序实现是NP难的(从这个问题的难度:给定候选标签序列,求出的拓扑排序,其中每个顶点必须出现在某个位置正确的标签出现在sssGGGsss)。但是,我不认为这会暗示枚举的难度,因为您可以按自己喜欢的任何顺序枚举(不一定是字典顺序),并且枚举算法无法有效地确定标签是否可以实现,甚至具有恒定的延迟(因为可能首先要成指数地列举许多序列)。 请注意,枚举第一个标签显然很容易(只要进行任何拓扑排序即可)。要列举的另一个标签比,您可以通过施加一些元素进行的得到一些位置列举其中尝试每个:和,并检查是否具有处于位置的拓扑排序,这可以在PTIME中清楚地完成。但是随着您输出越来越多的标签,我不确定如何概括这种方法。ssssssvvvVVVi∈{1,…,n}i∈{1,…,n}i \in \{1, \ldots, n\}si≠λ(v)si≠λ(v)s_i \neq \lambda(v)vvvģ v 我iiiGGGvvviii

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标记DAG的Dilworth定理的推广
一个反链在一个DAG 是一个子集是成对可达,即,不存在顶点的,使得是从可到达的在。根据偏序理论中的迪尔沃斯定理,可以知道,如果DAG没有大小为反链,则它可以分解为最多不相交的链,即有向路径。甲⊆ V v ≠ v ' ∈ 甲v v ' é ķ ∈ Ñ ķ - 1(V,E)(V,E)(V, E)A⊆VA⊆VA \subseteq Vv≠v′∈Av≠v′∈Av \neq v' \in Avvvv′v′v'EEEk∈Nk∈Nk \in \mathbb{N}k−1k−1k-1 现在,我对带标签的DAG感兴趣,即每个顶点在一些固定的有限标签中带有标签 DAG 。给定一个反链,我可以定义它的标记的大小作为标签的出现最小数量在,即。在这种情况下,是否有迪尔沃思定理的类似物?换句话说,如果我假设DAG没有标记大小为k的反链\ in \ mathbb {N}λ (v )Σ 甲⊆ Vvvvλ(v)λ(v)\lambda(v)ΣΣ\SigmaA⊆VA⊆VA \subseteq V甲分钟一个&Element; Σ | { v ∈ 甲| λ (v )= 一个} …

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确定可以通过非交换组元素的置换来实现
固定有限群。我对以下决策问题感兴趣:输入是某些元素,它们具有部分顺序,而问题是,是否存在满足该顺序的元素的排列,并且该排列是否满足order产生组的中性元素。摹èGGGGGGËËe 形式上,检验问题如下,其中组是固定的:GGGGGG 输入:有限的部分有序集,具有从到的标记函数。μ P ģ(P,&lt; )(P,&lt;)(P, <)μμ\muPPPGGG 输出:是否存在的线性扩展(即,总阶使得对于所有,表示),从而写出的元素遵循总顺序为,我们有。(P ,&lt; ')X ,ÿ ∈ P X &lt; ý X &lt; ' ý P &lt; ' X 1,... ,X Ñ μ (X 1)&CenterDot;&⋯ &CenterDot;&μ (X Ñ)= ÈPPP(P,&lt;′)(P,&lt;′)(P, <')X ,ÿ∈ PX,ÿ∈Px, y \in Px &lt; yX&lt;ÿx < yx &lt;′ÿX&lt;′ÿx <' yPPP&lt;′&lt;′<'X1个,… ,xñX1个,…,Xñx_1, \ldots, x_nμ …

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区间列表之间的单调双射
我有以下问题: 输入:两组间隔和(所有端点都是整数)。 查询:是否有单调双射?T f :S → TSSSTTTf:S→Tf:S→Tf:S \to T 在和上,包含设置顺序的双射是单调的。 Ť ∀ X ⊆ Ý ∈ 小号,˚F (X )⊆ ˚F (Ý )SSSTTT∀X⊆Y∈S, f(X)⊆f(Y)∀X⊆Y∈S, f(X)⊆f(Y)\forall X\subseteq Y \in S, \ f(X) \subseteq f(Y) [我在这里不需要相反的条件。更新:如果需要相反的条件,即,那么它将在PTIME中进行,因为它相当于对相应包含物的同构测试姿势(根据构造其阶次维数为 2),由Möhring在PTIME中定义,定理的可计算可计算类,定理5.10,p。61∀X,Y,X⊆Y⇔f(X)⊆f(Y)∀X,Y,X⊆Y⇔f(X)⊆f(Y)\forall X, Y, X\subseteq Y \Leftrightarrow f(X) \subseteq f(Y) ]。 问题出在:我们可以有效地检查给定的是否为单调双射。 ˚FNPNP\mathsf{NP}fff 是否有针对此问题的多项式时间算法?还是困难?NPNP\mathsf{NP} 这个问题可以更一般地描述为在阶数为 2的两个给定姿态之间存在单调双射 。 通过从这个问题的答案中得到启发,我知道问题是在尺寸不受限制时很难解决。但是,尚不清楚在尺寸受到限制的情况下,缩小是否还会起作用。NPNP\mathsf{NP} …

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晶格问题
关于部分订单的计算问题(例如,识别,跳转数,可比性图识别等),已经进行了大量工作。 我很好奇格子的具体工作已经完成。我四处搜寻,但没有找到很多类似的格子工作。 我尤其对是否已研究以下晶格问题感兴趣: 格点识别:给定DAG或部分顺序,实际上是格点吗? 格可比性图识别:给定无向图G,G的边是否可以定向为使得最终的定向为晶格? 确定/计算晶格的连接不可约元素 确定给定的晶格是否为分布/模
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