区间列表之间的单调双射

我有以下问题：

输入：两组间隔和（所有端点都是整数）。查询：是否有单调双射？ $S$ $T$
$f:S \to T$

在和上，包含设置顺序的双射是单调的。 $S$ $T$

\forall X \subseteq Y \in S, f (X) \subseteq f (Y)

$\forall X\subseteq Y \in S, \ f(X) \subseteq f(Y)$

[我在这里不需要相反的条件。更新：如果需要相反的条件，即，那么它将在PTIME中进行，因为它相当于对相应包含物的同构测试姿势（根据构造其阶次维数为 2），由Möhring在PTIME中定义，定理的可计算可计算类，定理5.10，p。61 $\forall X, Y, X\subseteq Y \Leftrightarrow f(X) \subseteq f(Y)$ ]。

问题出在：我们可以有效地检查给定的是否为单调双射。 $\mathsf{NP}$ $f$

是否有针对此问题的多项式时间算法？还是困难？ $\mathsf{NP}$

这个问题可以更一般地描述为在阶数为 2的两个给定姿态之间存在单调双射。

通过从这个问题的答案中得到启发，我知道问题是在尺寸不受限制时很难解决。但是，尚不清楚在尺寸受到限制的情况下，缩小是否还会起作用。 $\mathsf{NP}$

当维仅由某个任意常数（而不仅仅是2）限制时，我也很想知道易处理性。

— 3纳米
source

是否有这种贪婪方法的反例：根据的间隔对它们的递减长度进行排序；以这种方式构建节点树：如果然后添加边，如果存在多个具有相同长度与然后只需选择它们的最左侧并添加edge。添加链接到没有传入边的节点的根。为构建类似的树，然后检查两个树是否同构。

S

$S$

I_{1}, I_{2}, . . ., I_{n}

$I_1,I_2,...,I_n$

n + 1

$n+1$

I_{i} \subseteq I_{j}

$I_i \subseteq I_j$

(I_{j} \to I_{i})

$(I_j \rightarrow I_i)$

I_{i} \subseteq I_{j_{1}}, . . ., I_{j_{m}}

$I_i \subseteq I_{j_1},...,I_{j_m}$

| I_{j_{1}} | = | I_{j_{2}} | = . . . = | I_{j_{m}} |

$|I_{j_1}|=|I_{j_2}|=...=|I_{j_m}|$

(I_{j_{k}} \to I_{i})

$(I_{j_k} \rightarrow I_i)$

T

$T$

— Marzio De Biasi

一个间隔可以包含在多个不可比的间隔中，例如[1、3]和[2、4]中包含了[2、3]，因此我认为您的树结构不会生成树，而是有向无环图。我认为，检查两个DAG是否同构（或者在我要问的意义上是可嵌入的）通常是NP难的。

— a3nm

没错，以上方法是不正确的！

— Marzio De Biasi

根据De Biasi的回答，当时，问题是GI完全的。但是，您的帖子指出它是在PTIME中。哪一个是正确的？

\forall X, Y, X \subseteq Y \Leftrightarrow f (X) \subseteq f (Y)

$\forall X, Y, X\subseteq Y \Leftrightarrow f(X) \subseteq f(Y)$

— Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany：参见关于Marzio答案的评论中的讨论

— a3nm，

这是尝试证明没有相反条件的问题是NP-难问题。

基本思想是中不相交的区间像这样： $S$

 [S]  +-a-+ +-b-+
      +---c-----+  c<a, c<b (here < is interval inclusion)

在可以有效映射到“ 金字塔 ” ： $T$

 [T]  +-x-+      f(a)=x, f(b)=y, f(c)=z
      +-y---+    
      +-z-----+  z<x, z<y OK

减少来自一元3分区（即NPC）。给定整数和一个整数，在集合确实存在A的分区因此每个都具有3个元素他们的总和是？ $3m$ $A = \{a_1,a_2,...,a_{3m}\}$ $B$ $m$ $A_1,...,A_m$ $A_i$ $B$

假设 $max = \sum a_i + 3m$

我们构造添加长度为基本间隔（图中的红线），在每个基本间隔的顶部，我们添加长度递增的间隔的标记金字塔（图中的绿线）。在基本间隔我们还添加了长度为1的不相交单元间隔（图中的黑线）。最后，我们添加一个长间隔来覆盖所有（图中的蓝线）。 $S$ $3m$ $BI_i$ $3*max$ $max$ $BI_i$ $a_i$ $L$ $BI_i$

然后，我们从的副本开始构造，然后添加和组，每个组都由三个堆叠的基本间隔的副本构成，这些间隔以其标记金字塔不相交的方式拉伸（请参阅红绿线）在图的底部）。然后，我们在的三个基本间隔之上添加一个间隔的和金字塔，这些间隔的长度不断增加（与标记金字塔不相交）。 $T$ $L$ $m$ $G_j$ $G_j$ $B$

假设在S和T之间存在一个双射，它保留了区间包含（在从S到T的一个方向上）。

然后，S的每个标记金字塔都必须对应于T中的标记金字塔（具有间隔的包含链的唯一方法），因此正好是三个基本间隔（）的必须映射到每个组。此外，的单位间隔必须映射到的和金字塔，并且不能在不同组之间“交换”。 $max$ $BI_{j_1},BI_{j_2},BI_{j_3}$ $S$ $G_j$ $BI_{j_k}$ $G_j$

以类似的方式可以证明，如果存在双射，则原始的一元三分区问题具有解。

在此处输入图片说明从一元3分区问题减少例如 $m=2, A = \{3,3,2,2,2,2\}, B = 7$

注意：如注释中所示，S和T中的蓝色间隔L对于减小不是必不可少的。

$I_i \subseteq I_j$ $(I_j \rightarrow I_i)$

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
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是的，这似乎是正确的，非常感谢！（只是说一句：我认为，减少间隔不需要蓝色间隔。）除非我有理由怀疑这种减少方法有效，否则我会尽快接受。

— a3nm

@ a3nm：是的，但我在绘制图形后才发现它:-)。我仍然不能100％地确定折减中是否没有隐藏的错误（此外，这是我两周内第二次发现使用一元3分区的NP完全证明...非常奇怪:-）

— Marzio De Biasi

不，这似乎是正确的：很明显，对3分区的解决方案可以解决区间问题。现在，从区间问题到3区间：一定是区间映射将红色区间映射到红色区间（由于标记金字塔）；相同数量的红色间隔，因此如果映射映射的图像是红色，则间隔为红色。标记被映射到正确的红色间隔（因为否则它是后代，并且是最小的）。现在，如果将红色映射为红色，并且标记按预期映射，则数字必须匹配，因此我们具有正确的分区。我认为这很有道理！

— a3nm

@ a3nm：我看到你接受了答案；您认为撰写联合论文的结果足够有趣吗？

— Marzio De Biasi 2013年

就其本身而言，我认为它“不足为奇”以至于不应该得到论文……而且我只是一个谦虚的博士生，实际上并没有能力提供这份论文。为了获得更强的结果，将它与使用非平凡的PTIME算法与一些易处理的限制进行比较将是很好的……我仍然想知道，例如，如果是一个总阶会发生什么，但是所有间隔都具有“颜色” “那

T

$T$

f

$f$