位置受限的拓扑排序的复杂性

我得到个顶点的DAG作为输入，其中每个顶点都另外加上了一些。 $G$ $n$ $x$ $S(x) \subseteq \{1, \ldots, n\}$

甲拓扑排序的是一个双射从顶点到，使得对所有，，如果有从一个路径到在然后。我想决定是否存在的拓扑排序，这样对于所有，。 $G$ $f$ $G$ $\{1, \ldots, n\}$ $x$ $y$ $x$ $y$ $G$ $f(x) \leq f(y)$ $G$ $x$ $f(x) \in S(x)$

这个决策问题的复杂性是什么？

[注意：显然这是在NP中。如果查看允许的顶点/位置对的图，并且成对之间的无向边会因为违反顺序而发生冲突，那么您会得到一个不连续的图，每个图最多要选择一对，每个图最多要选择一对位置，每个顶点最多一对-似乎与3维匹配有关，但我看不出使用此特定问题的附加结构是否仍然困难。

— 3纳米
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Answers:

我认为这个问题很难解决。我尝试从MinSAT得出一个简化。在MinSAT问题中，我们获得了CNF，我们的目标是最大程度地减少满意条款的数量。此问题是NP难题，请参见例如http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/S0895480191220836?journalCode=sjdmec

将顶点分为两组-有些将代表文字，其余的将从句，因此其中是CNF的变量数（通常由表示），而是从句的数目。将每个文本顶点的边指向发生它的子句顶点。为将表示为的文字-顶点定义（其中是任意参数），所以 $n=2v+c$ $v$ $n$ $c$ $S$ $x_i$ $\{i,i+v+k\}$ $k$ 和或和。对于每个子句顶点，令 $f(x_i)=i$ $f(\bar x_i)=i+v+k$ $f(\bar x_i)=i$ $f(x_i)=i+v+k$ ，因此子句顶点中的个为``small''。 $S=\{v+1,\ldots,v+k,2v+k+1,\ldots,n\}$ $k$

现在，CNF有一个分配，其中且仅当您的问题可以为上述实例解决时，至少子句才为false。MinSAT问题正是为了测试CNF公式是否具有至少使子句为假的赋值，因此这表明您的问题是NP-难的。 $k$ $\varphi$ $k$

为了帮助您了解本次减持，这里的直觉：小标签（）对应于真值假，大标签（）对应于真正。对于文字-顶点的约束确保每个是True或False并且 $1,2,\dots,v+k$ $v+k+1,\dots,2v+k$ $x_i$ $\overline{x_i}$ 具有相反的真理价值。边确保如果任何文字为True，则包含该文字的所有子句-顶点也会被赋值为True。（相反，如果子句中的所有文字都分配为False，则此图结构允许将子句顶点分配为False或True。）最后，选择可确保将个子句顶点分配为False和。分配为True。因此，如果该图有一个有效的拓扑排序，则对变量进行赋值，使得至少句中的 $k$ $k$ $c-k$ $k$ $\varphi$ false（分配给所有False的所有子句顶点，以及分配给True的所有子句顶点）。相反，如果对变量的赋值至少使个子句为假，则此图存在有效的拓扑排序（我们以明显的方式为文字-顶点填充标签；对于每个子句为真，我们为其对应的子句顶点指定一个对应于True的标签；其他子句顶点可以接收与任意真值对应的标签。 $k$ $\varphi$ $\varphi$

— 多摩普
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感谢您的回答！我想了解你的草图。您介意解释

是什么吗？

k

$k$

— a3nm

@ a3nm：k是为MinSAT输入指定的参数。

— domotorp 2013年

@Marzio：SAT不等于MinSAT，其中

，就像在后一个问题中一样，我们要求所有子句都为假。您

不具有的所有条款虚假的分配。当然，这并不能证明我的减缩是正确的……

k = | c |

$k=|c|$

ϕ

$\phi$

— domotorp 2013年

这是一个华丽的还原！@ a3nm，我建议对答案进行编辑以更详细地解释domotorp的优雅还原；如果获得批准，希望它将帮助您更清楚地理解这些想法。

— DW

@domotorp：是的，我完全错过了MinSAT是什么。很好的减少！

— Marzio De Biasi 2013年

请注意，如果通过允许为任意（不一定是双射的）来放松问题，则它将变为多项式。该算法的操作类似于拓扑排序：对顶点进行一次编号，并维护其邻居中已编号的未编号顶点的集合只要有可能，你选择了一个顶点并与数最小的元素比其同邻国的数量更大。不难看出实例具有解决方案，前提是先前的算法在上运行 $f$ $U$ $x \in U$ $S(x)$ $(G,S)$ 以所有折点编号结束。 $(G,S)$

— 超级0
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公平的说，这种放松意味着贪婪的启发式工作，甚至在

不是顶点数而是任意值的情况下也是如此。我们是否同意，在后一种情况下，当内射性和外射性不再相等时，您需要放松两者（而不仅仅是一个），以使贪婪的启发式方法起作用？

n

$n$

— a3nm

一个简单的观察是，如果对所有，那么这个问题是在多项式时间解，还原成2SAT。 $|S(x)| \le 2$ $x$

就是这样。引入变量每个顶点和每个使得。对于每对顶点的，如果有从一个路径到，我们得到了一些约束：如果，，并且，那么我们得到的约束 $v_{x,i}$ $x$ $i$ $i \in S(x)$ $x,y$ $x$ $y$ $i\in S(x)$ $j\in S(y)$ $i>j$ 。双射为我们提供了另一套限制：每对与顶点的，如果和，我们添加。最后，必须为每个顶点分配一个标签的要求为我们提供了另一组约束：对于每个，如果 $\neg v_{x,i} \lor \neg v_{y,j}$ $x,y$ $x\ne y$ $i \in S(x)$ $i \in S(y)$ $\neg v_{x,i} \lor \neg v_{y,i}$ $x$ $S(x)=\{i,j\}$ $v_{x,i} \lor v_{x,j}$ $|S(x)|\le 2$ $x$

我意识到这种观察对您的特定情况没有帮助。对于那个很抱歉。

— DW
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