Questions tagged «matching»

匹配是图的边缘的子集,因此子集中的任何边缘都不会与另一个共享顶点。

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对于稳定婚姻问题,稳定婚姻的最大数目是多少?
稳定的婚姻问题:http : //en.wikipedia.org/wiki/Stable_marriage_problem 我知道,对于一个SMP实例,除了Gale-Shapley算法返回的婚姻以外,还有许多其他稳定的婚姻。但是,如果只给定,即男女人数,我们会问以下问题-我们能否构建一个能够提供最大稳定婚姻数目的偏好列表?这样一个数字的上限是多少?nnn

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内部不相交的奇数长度st路径的最大数量
让GGG是一个无向简单图,让s,t∈V(G)s,t∈V(G)s,t \in V(G)是不同的顶点。令简单st路径的长度为路径上的边数。我感兴趣的是计算一组简单的st路径的最大大小,以使每个路径具有奇数长度,并且每对路径的顶点集仅在s和t中成对相交。换句话说,我正在寻找内部顶点不相交的奇数长度st路径的最大数量。我认为这应该是可以通过匹配或基于流的技术进行多项式时间计算的,但是我还无法提出一种算法。这是我对问题的了解。 我们可以用偶数长度代替对奇数长度的限制;这实际上并不会影响问题,因为如果细分入射在s上的所有边,则一个会转换为另一个。 如果对路径的奇偶性没有限制,则Menger定理给出答案,可以通过计算最大流量来获得答案。 确定多项式中仅在给定顶点v上成对相交的不相交奇数个长度最大循环的问题可以通过匹配技巧在多项式时间内计算:建立图G'作为(G−v)(G−v)(G - {v})和(G−NG[v])(G−NG[v])(G - N_G[v]),在同一顶点的两个副本之间添加边;大小图中的最大匹配|V(G)|−|NG[v]|+k|V(G)|−|NG[v]|+k|V(G)| - |N_G[v]| + k表示通过的最大奇数周期是 k ; 这种结构在哈德维格猜想的奇异次要变式的引理11的证明中得到了描述。vvvkkk 如果该图是有向的,则测试单个偶数长度st路径的存在已经是NP完整的。 论文Lapaugh和Papadimitriou的图形和有向图的偶数路径问题可能是相关的,但不幸的是,我们的图书馆没有订阅在线档案,也没有纸质副本。 任何见解将不胜感激!

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我们可以决定一个永久物是否具有唯一的期限?
假设我们得到一个n×n矩阵M,其中有整数项。我们可以决定在P是否有一个置换使得对所有排列π ≠ σ我们有Π 中号我σ (我) ≠ Π 中号我π (我)?σσ\sigmaπ≠ σπ≠σ\pi\ne\sigmaΠ 中号我σ(我)≠ Π 中号我π(我)Π中号一世σ(一世)≠Π中号一世π(一世)\Pi M_{i\sigma(i)}\ne \Pi M_{i\pi(i)} 备注。当然可以用总和替换产品,问题仍然存在。 如果矩阵只能有0/1个条目,那么我们将得出Bipartite-UPM问题,甚至在NC中也是如此。 编辑:如果我们允许随机归约,则确定最小项是否唯一是NP-hard。实际上,我最初想提出这个问题,因为它可以帮助解决这个问题。现在事实证明这是NP完全的,所以让我为我们的问题画出简化。假设输入是一个零一矩阵(我们可以假设),然后用2到2 + 1 / n之间的随机实数替换零项。现在,在此新矩阵中,当且仅当原始矩阵可置换为上三角形式时,最小项才是唯一的。 编辑:类似问题: 在边缘加权图中,是否存在具有唯一权重的哈密顿环? 如果我们有一个将权重分配给每个变量/令人满意的分配器的CNF,是否有一个唯一的权重满足分配条件? 这些当然至少是NP难的。这些问题与原始问题是否相等或更难?

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位置受限的拓扑排序的复杂性
我得到个顶点的DAG作为输入,其中每个顶点都另外加上了一些。GGGnnnxxxS(x)⊆{1,…,n}S(x)⊆{1,…,n}S(x) \subseteq \{1, \ldots, n\} 甲拓扑排序的是一个双射从顶点到,使得对所有,,如果有从一个路径到在然后。我想决定是否存在的拓扑排序,这样对于所有,。GGGfffGGG{1,…,n}{1,…,n}\{1, \ldots, n\}xxxyyyxxxyyyGGGf(x)≤f(y)f(x)≤f(y)f(x) \leq f(y)GGGxxxf(x)∈S(x)f(x)∈S(x)f(x) \in S(x) 这个决策问题的复杂性是什么? [注意:显然这是在NP中。如果查看允许的顶点/位置对的图,并且成对之间的无向边会因为违反顺序而发生冲突,那么您会得到一个不连续的图,每个图最多要选择一对,每个图最多要选择一对位置,每个顶点最多一对-似乎与3维匹配有关,但我看不出使用此特定问题的附加结构是否仍然困难。


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线性程序约束满足期望是否足够?
在针对在线二分匹配的RANKING的随机原始对偶分析中,证明RANKING算法具有竞争性,同时证明对偶可行于期望值(请参阅第5页的引理3)。我的问题是:(1−1e)(1−1e)\left(1 - \frac{1}{e}\right) 线性程序约束满足期望是否足够? 证明目标函数的期望值是一回事。但是,如果在期望中满足了可行性约束条件,则不能保证一定会满足给定的运行条件。而且,存在许多这样的约束。那么,在给定的运行中保证所有这些参数都得到满足的保证是什么?

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完美匹配的棋盘吗?
考虑这样一个问题,即找到可以放置在棋盘上的骑士的最大数量,而他们中的两个不会互相攻击。答案是32:找到一个完美的匹配并不是太难(骑士移动引起的图形是二分的,并且4×4板有一个完美的匹配),这显然是最小的边缘覆盖率。同样不难证明,只要m,n \ geq 3,答案是对于棋盘:足以显示3 \ leq的匹配项m,n \ leq 6并做一些归纳步法。⌈mn2⌉⌈mn2⌉\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceilm×nm×nm \times nm,n≥3m,n≥3m,n \geq 33≤m,n≤63≤m,n≤63 \leq m,n \leq 6 另一方面,如果棋盘是环形的并且m,nm,nm, n是偶数,则证明甚至不需要显示与小盘的匹配:映射(x,y)→(x+1,y+2)(x,y)→(x+1,y+2)(x, y) \rightarrow (x+1, y+2)具有只有偶数长度的周期,因此必须有一个完美的匹配。 矩形棋盘是否有等效项,也就是说,有没有更简单的方法来证明对于足够大的m,nm,nm, n,总是可以完美匹配棋盘?对于大板,矩形板和环形板在缺失边缘的比例变为零的意义上几乎是等效的,但是我不知道有任何理论结果可以保证这种情况下的完美匹配。 如果骑士没有向任一方向跳(1,2)(1,2)(1, 2),而是向任一方向跳(2,3)(2,3)(2, 3)方格怎么办?或就此而言,(p,q)(p,q)(p, q)平方,p+qp+qp+q奇数,p,qp,qp, q互质数?如果是,证明该答案是一个简单的方法⌈mn2⌉⌈mn2⌉\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil对于足够大的m,nm,nm, n(比方说,m,n≥C(p,q)m,n≥C(p,q)m, n \geq C(p, q)),做什么C(p,q)C(p,q)C(p, q)是什么样子?

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完善的单调电路下限的完美匹配的复杂性?
Razborov证明了其计算的完美匹配函数二分图的每个单调电路必须至少有门(他称之为“逻辑永久”)。从那以后,是否已经证明了针对同一问题的更好的下限?(例如2 n ϵ?)据我记得,这个问题是在1990年代中期提出的。nΩ(logn)nΩ(log⁡n)n^{\Omega(\log n)}2nϵ2nϵ2^{n^\epsilon} 我知道集团功能需要指数大小的单调电路等,但是我对完美匹配特别感兴趣。

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扩展至稳定婚姻问题?
这听起来似乎比TCS问题更像是一门社会科学问题,但事实并非如此。阅读描述稳定婚姻问题的“ 随机算法 ”时,可以阅读以下内容(p54) “可以证明,对于每一种选择的偏好列表,至少都有一个稳定的婚姻。(很奇怪的是,在同性恋者一夫一妻制的社会中,居民人数是偶发的)。” 稳定婚姻问题是否有任何非常简单的扩展,允许某种类型的稳定状态,包括同性恋一夫一妻制社会,或者其中某些人口子群遵循的规则不同于大套规则的社会? 肯定的是,有执行这种匹配的算法吗?

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条件G [M]的最大匹配M为2K_2-free
文献中是否有任何与以下问题接近的东西: 给定具有二等分的二部图,在是否存在完美匹配,使得中的每两个边都有边或边(或同时存在)在?ģ (V,E)G(V,E)G(V,E){ ü,W}{U,W} \{U,W\}中号M M GG G ü1个w1个,ü2w2∈ 中号u1w1,u2w2∈Mu_1w_1, u_2w_2\in M ü1个w2u1w2u_1w_2ü2w1个u2w1u_2w_1GG G 换句话说,是否存在完美匹配,使得诱导子图不。(对于均衡的划分,我的意思是。)中号MMģ [ 中号]G[M]G[M]2ķ22K2 2K_2 | ü| = | w ^||U|=|W||U|=|W| 额外条件与诱导匹配问题中使用的极端条件相反。另一个可能有关的一个是查找最大尺寸匹配的问题在二分图边缘,使得收缩在最小化留在图中的边的数量。中号MMGGG中号MM 我检查了Plummer在“ 匹配和顶点打包”中给出的与匹配相关的问题列表:它们有多“难”?没有成功。 PS:此问题是此决策问题的特例:-对于给定的,是否存在二部图的最大匹配,使得为 -free且。如果输入图是平衡二分图且,我们得到了上述问题。ķ ∈ Ñk∈Nk\in\mathbb{N}中号MMGGGģ [ 中号]G[M]G[M]2ķ22K22K_2| 中号| >k|M|>k|M|>kk = | ü|k=|U|k=|U| 谢谢。
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最大重量匹配和亚模块功能
给定一个二分图与正权让˚F :2 Ü → [R与˚F (小号)等于图中的最大重量匹配ģ [ 小号∪ V ]。G=(U∪V,E)G=(U∪V,E)G = (U \cup V, E)f:2U→Rf:2U→Rf: 2^U \rightarrow \mathbb{R}f(S)f(S)f(S)G[S∪V]G[S∪V]G[S\cup V] 是亚模函数,这是真的吗?fff

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区间列表之间的单调双射
我有以下问题: 输入:两组间隔和(所有端点都是整数)。 查询:是否有单调双射?T f :S → TSSSTTTf:S→Tf:S→Tf:S \to T 在和上,包含设置顺序的双射是单调的。 Ť ∀ X ⊆ Ý ∈ 小号,˚F (X )⊆ ˚F (Ý )SSSTTT∀X⊆Y∈S, f(X)⊆f(Y)∀X⊆Y∈S, f(X)⊆f(Y)\forall X\subseteq Y \in S, \ f(X) \subseteq f(Y) [我在这里不需要相反的条件。更新:如果需要相反的条件,即,那么它将在PTIME中进行,因为它相当于对相应包含物的同构测试姿势(根据构造其阶次维数为 2),由Möhring在PTIME中定义,定理的可计算可计算类,定理5.10,p。61∀X,Y,X⊆Y⇔f(X)⊆f(Y)∀X,Y,X⊆Y⇔f(X)⊆f(Y)\forall X, Y, X\subseteq Y \Leftrightarrow f(X) \subseteq f(Y) ]。 问题出在:我们可以有效地检查给定的是否为单调双射。 ˚FNPNP\mathsf{NP}fff 是否有针对此问题的多项式时间算法?还是困难?NPNP\mathsf{NP} 这个问题可以更一般地描述为在阶数为 2的两个给定姿态之间存在单调双射 。 通过从这个问题的答案中得到启发,我知道问题是在尺寸不受限制时很难解决。但是,尚不清楚在尺寸受到限制的情况下,缩小是否还会起作用。NPNP\mathsf{NP} …

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最大重量“公平”匹配
我对图表中最大权重匹配的一种变体感兴趣,我称之为“最大公平匹配”。 假定图满(即),具有顶点的偶数,且重量由利润函数给出号码:{V \选择2} \到\ mathbbÑ。给定匹配M,用M(v)表示边v的利润与之匹配。E=V×VE=V×VE=V\times Vp:(V2)→Np:(V2)→Np:{V\choose 2}\to \mathbb NMMMM(v)M(v)M(v)vvv 的匹配MMM是一个公平的匹配当且仅当,对于任何两个顶点u,v∈Vu,v∈Vu,v\in V: (∀w∈V: p({w,v})≥p({w,u}))→M(v)≥M(u)(∀w∈V: p({w,v})≥p({w,u}))→M(v)≥M(u)(\forall w\in V:\ \ p(\{w,v\})\geq p(\{w,u\}))\to M(v)\geq M(u) 也就是说,如果对于V中的任何顶点w∈Vw∈Vw\in V,将w匹配www到顶点vvv都比将其匹配到顶点u获得更高的利润uuu,则公平匹配必须满足M(v)≥M(u)M(v)≥M(u)M(v)\geq M(u)。 我们能否有效地找到最大重量公平匹配? 一个有趣的情况是,当图为二分图且公平性仅适用于一侧时,即假设G=(L∪R,L×R)G=(L∪R,L×R)G=(L\cup R,L\times R),我们得到了一个利润函数p:L×R→Np:L×R→Np:L\times R\to \mathbb N。 甲公平二部匹配是在匹配GGG使得对于任意两个顶点u,v∈Lu,v∈Lu,v\in L: (∀w∈R: p({v,w})≥p({u,w}))→M(v)≥M(u)(∀w∈R: p({v,w})≥p({u,w}))→M(v)≥M(u)(\forall w\in R:\ \ p(\{v,w\})\geq p(\{u,w\}))\to M(v)\geq M(u) 我们可以多快找到最大重量的公平二分匹配? 这个问题的动机来自两党的特殊情况。假设您有工人和任务,而工人可以从工作产生利润。问题在于设计一个合理的(在某种意义上说,工人不会感到“被剥夺”),同时使总收益最大化(在分配机制的力量和社会利益之间进行权衡)。nnnmmmiiipi,jpi,jp_{i,j}jjj 如果我们将工人分配给工作的社会福利(或工厂利润)定义为利润之和。 查看作业分配器功能的不同方案,我们得到以下结果: 如果允许我们将任何工人分配给任何工作,我们可以有效地优化工厂(只需找到最大权重匹配项)。 如果每个工人自己选择一个任务,假设他将是自己的工作(每个工作只能选择一个工作),如果他是选择任务的最合格工人,则这些工人将趋于“贪婪”平衡。原因是,赚得最多的工人()会选择最赚钱的工作,依此类推。通过匹配的贪婪算法的近似率,这应该给出最大社会福利的2近似值。i=argmaximaxjpi,ji=argmaximaxjpi,ji=\mbox{argmax}_i \max_j …
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