对于稳定婚姻问题，稳定婚姻的最大数目是多少？

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稳定的婚姻问题：http : //en.wikipedia.org/wiki/Stable_marriage_problem

我知道，对于一个SMP实例，除了Gale-Shapley算法返回的婚姻以外，还有许多其他稳定的婚姻。但是，如果只给定，即男女人数，我们会问以下问题-我们能否构建一个能够提供最大稳定婚姻数目的偏好列表？这样一个数字的上限是多少？ $n$

— 升序
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对于男人和女人的实例，微不足道的上限是，再没有比这更好的了。对于下界，Knuth（1976）给出了具有稳定匹配的无限实例实例，而Thurber（2002）将该实例扩展到所有。 $n$ $n$ $n!$ $\Omega(2.28^n)$ $n$

— 塞尔·加斯珀斯
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实际上，我认为该实例家族（具有2的幂）是由于Irving和Leather所致，并且Knuth证明了该家族满足的递归关系为

Ω ({2.28}^{n})

$\Omega(2.28^n)$

— gstat 2012年

1

RW Irving和P. Leather。计算稳定婚姻的复杂性。SIAM Journal on Computing，15：655-667,1986

— gstat 2012年

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我的硕士论文中给出了稳定婚姻实例的最大稳定匹配数的上限，并且也扩展到稳定室友问题。该边界的大小为，它可以证明它实际上的大小为。 $O(n!/2^n)$ $O\left((n!)^\frac{2}{3}\right)$

该文档为第97页上的论文编号97，网址为http://mpla.math.uoa.gr/msc/

— gstat
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在Anna R. Karlin，Shayan Oveis Gharan，Robbie Weber中给出了指数上限：最大稳定匹配数的简单指数上限。

— 多摩普
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4

众所周知，男人/女人的实例可以具有稳定匹配的指数数（），但是给出严格的上限仍然是开放的。参见算法百科全书http://www.amazon.com/dp/0387307702 $n$ $O(2^n)$

— 雪人
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该句子具有误导性，但我认为它仅要求一个指数下限：Knuth在其关于稳定婚姻的早期专着[11]中提出的一个开放性问题是，确定任何SM实例的最大稳定匹配数xn。涉及n名男子和n名妇女。尽管Knuth本人表明xn与n呈指数增长，但这个问题仍然存在。Irving和Leather [8]推测，当n为2的幂时，该函数满足递归

x_{n} = 3 x_{n / 2}^{2} - 2 x_{n / 4}^{4}

$x_n = 3x^2_{n/2} - 2x^4_{n/4}$

— -2x

1

关于这个问题的有趣结果可以在《稳固的婚姻问题》一书的第24和25页中找到：Dan Gusfield和Robert Irving，麻省理工学院出版社，1989年。

— 约瑟夫·马尔科维奇
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