最大重量“公平”匹配

我对图表中最大权重匹配的一种变体感兴趣，我称之为“最大公平匹配”。

假定图满（即），具有顶点的偶数，且重量由利润函数给出。给定匹配，用表示边的利润与之匹配。 $E=V\times V$ $p:{V\choose 2}\to \mathbb N$ $M$ $M(v)$ $v$

的匹配 $M$ 是一个公平的匹配当且仅当，对于任何两个顶点 $u,v\in V$ ：

(\forall w \in V : p ({w, v}) \geq p ({w, u})) \to M (v) \geq M (u)

$(\forall w\in V:\ \ p(\{w,v\})\geq p(\{w,u\}))\to M(v)\geq M(u)$

也就是说，如果对于任何顶点 $w\in V$ ，将匹配 $w$ 到顶点 $v$ 都比将其匹配到顶点更高的利润 $u$ ，则公平匹配必须满足 $M(v)\geq M(u)$ 。

我们能否有效地找到最大重量公平匹配？

一个有趣的情况是，当图为二分图且公平性仅适用于一侧时，即假设 $G=(L\cup R,L\times R)$ ，我们得到了一个利润函数 $p:L\times R\to \mathbb N$ 。

甲公平二部匹配是在匹配 $G$ 使得对于任意两个顶点 $u,v\in L$ ：

(\forall w \in R : p ({v, w}) \geq p ({u, w})) \to M (v) \geq M (u)

$(\forall w\in R:\ \ p(\{v,w\})\geq p(\{u,w\}))\to M(v)\geq M(u)$

我们可以多快找到最大重量的公平二分匹配？

这个问题的动机来自两党的特殊情况。假设您有工人和任务，而工人可以从工作产生利润。问题在于设计一个合理的（在某种意义上说，工人不会感到“被剥夺”），同时使总收益最大化（在分配机制的力量和社会利益之间进行权衡）。 $n$ $m$ $i$ $p_{i,j}$ $j$

如果我们将工人分配给工作的社会福利（或工厂利润）定义为利润之和。

查看作业分配器功能的不同方案，我们得到以下结果：

如果允许我们将任何工人分配给任何工作，我们可以有效地优化工厂（只需找到最大权重匹配项）。
如果每个工人自己选择一个任务，假设他将是自己的工作（每个工作只能选择一个工作），如果他是选择任务的最合格工人，则这些工人将趋于“贪婪”平衡。原因是，赚得最多的工人（）会选择最赚钱的工作，依此类推。通过匹配的贪婪算法的近似率，这应该给出最大社会福利的2近似值。 $i=\mbox{argmax}_i \max_j p_{i,j}$

我正在寻找介于两者之间的东西。假设我们可以分配工人到工作中，但是必须向他们保证，“合格的”工人的收入不会比他们多。

我们如何才能找到有效地向员工承诺“公平”的最大权重？

— RB
source

切线地，对于第二个（二分）情况，似乎很容易构造示例，即使有“不公平”的匹配使第一个工人的利润为，每个“公平”的匹配都会使第一个工人的利润为1，其余的为零。，其他人则获利。类似地，最大权重公平匹配使每个工人获利示例，即使存在不公平匹配也使每个工人获利。

1 - 2 ϵ

$1−2\epsilon$

1 - ϵ

$1−\epsilon$

2 / n

$2/n$

{1 - ϵ, 1 - 2 ϵ}

$\{1-\epsilon,1-2\epsilon\}$

— Neal Young

@NealYoung-我是否可以正确地假设，如果利润是不同的，这些情况就不会存在？

— RB

在博弈论中，这似乎是一个标准问题，因为无法区分替代方案会大大降低社会福利。

— RB

糟糕，我回想一下-我不确定这些示例是否可以实现！

— Neal Young

我相信您所定义的“最大重量公平二分匹配”是NP-hard。更重要的是，确定公平的二分匹配是否存在是难事。

为了给出直觉，在给出证明草图之前，请考虑以下小实例。取其中，。取，使得为和，而为和。那么对于所有，在某种意义上和是等价的，因此，因此任何公平匹配都必须给和带来相同的利润。因此，唯一的公平匹配要么匹配 $G'=(L, R, E'=L\times R)$ $L=\{a,b\}$ $R=\{c,d,e,f\}$ $p$ $p(u,w) = 0$ $u\in L$ $w\in\{c,d\}$ $p(u,w) = 1$ $u\in L$ $w\in\{e,f\}$ $a$ $b$ $p(a, w) = p(b, w)$ $w\in R$ $a$ $b$ $a$ 和到和，或者将和匹配到和。使用这种小工具，我们可以在匹配中强制边缘协调。这是减少的基础。 $b$ $c$ $d$ $a$ $b$ $e$ $f$

这是一个证明的尝试。这有点涉及。可能存在一些错误，但希望可以纠正任何错误。

引理1。如问题所述， 给定和，确定是否包含公平匹配是NP -硬。 $G'=(L, R, E'=L\times R)$ $p:E'\rightarrow\mathbb{R}_+$ $G'$

证明草图。证明是通过减少三次图中的独立集得出的。令为独立集的给定实例，其中是三次图（每个顶点的阶数为3）。我们描述了如何构造图和利润函数从而使得具有公平的二分匹配，如果和仅当具有大小为的独立集合时。 $(G=(V,E),k)$ $G'$ $G'=(L, R, E'=L\times R)$ $p:E'\rightarrow\mathbb{R}_+$ $G'$ $G$ $k$

的顶点将成对出现，称为伙伴。对于的顶点也是如此。对于每一个顶点，我们让表示的合作伙伴。每个顶点和的伙伴都是等价的，这意味着，我们将令因此，任何公平匹配都必须将相同的利润分配给和。接下来，我们使用表示。 $L$ $R$ $v\in L\cup R$ $v'$ $v$ $\ell\in L$ $\ell'\in L$

p (ℓ, r) = p (ℓ^{'}, r) for all r \in R .

$p(\ell, r) = p(\ell', r) \text{ for all } r\in R.$

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

π (ℓ, r)

$\pi(\ell, r)$

p (ℓ, r) = p (ℓ^{'}, r)

$p(\ell,r) = p(\ell', r)$

此外，对于每对在，并且每对伙伴的在，无论我们作出或者我们使在前一种情况下，我们说我们允许和与和匹配（因为这样做会根据需要将相同的利润分配给和）。在后一种情况下，我们说我们防止和与和都匹配 $\ell$ $L$ $r, r'$ $R$

π (ℓ, r) = π (ℓ, r^{'})

$\pi(\ell, r) = \pi(\ell, r')$

π (ℓ, r) \neq π (ℓ, r^{'}) .

$\pi(\ell, r) \ne \pi(\ell, r').$

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

r

$r$

r^{'}

$r'$

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

r

$r$

r^{'}

$r'$ （因为这样做不会为和分配相同的利润）。

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

由于给定的曲线图为三次方，因此满足和任何独立集大小的在入射到恰好边缘。为了便于表示，假设。 $G=(V,E)$ $3|V|=2|E|$ $I$ $k$ $G$ $3k$ $V=\{1,2,\ldots,n\}$

对于每个边，执行以下操作。 $\{i, j\}\in E$

添加一对伙伴顶点以。 $r(\{i,j\}), r'(\{i,j\})$ $R$
对于端点，向添加一对伙伴顶点。设置允许和与和匹配。 $i$ $\ell(i,j), \ell'(i,j)$ $L$
$π (ℓ (i, j), r ({i, j})) = π (ℓ (i, j), r^{'} ({i, j})) = i,$ $\pi(\ell(i,j), r(\{i,j\})) = \pi(\ell(i,j), r'(\{i,j\}))= i,$ $\ell(i,j)$ $\ell'(i,j)$ $r(\{i,j\})$ $r'(\{i,j\})$
对称地，对于另一个端点：将另一对伙伴顶点到，并设置允许和与和匹配。 $j$ $\ell(j,i), \ell'(j,i)$ $L$
$π (ℓ (j, i), r ({i, j}) = π (ℓ (j, i), r^{'} ({i, j})) = j,$ $\pi(\ell(j,i), r(\{i,j\}) = \pi(\ell(j,i), r'(\{i,j\}))= j,$ $\ell(j,i)$ $\ell'(j,i)$ $r(\{i,j\})$ $r'(\{i,j\})$

对于到目前为止添加的每个和，如果未明确允许（以上）对与匹配，则通过分配和每个都有唯一的数字。 $\ell\in L$ $r\in R$ $\ell, \ell'$ $r, r'$ $\pi(\ell, r)$ $\pi(\ell, r')$

接下来，将对填充顶点添加到。对于每个填充顶点和每个，设置。 $3(|V|-k)$ $R$ $r$ $\ell(i,j)\in L$ $\pi(\ell(i,j), r) = 0$

最后，添加两个顶点和（伙伴）到，具有两个顶点沿和（也合作伙伴）。设置，从而允许和与和匹配。对于每个其他顶点，将为某个唯一数字。（因此，任何公平匹配都必须将和匹配到和。）对于每个 $L_0$ $L'_0$ $L$ $R_0$ $R'_0$ $R$ $\pi(L_0, R_0) = \pi(L_0, R'_0) = 1$ $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $r\in R$ $\pi(L_0, r)$ $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $i\in V$ ，对于每个入射边，设置和。 $\{i,j\}\in E$ $\pi(\ell(i,j), R_0) = i$ $\pi(\ell(i,j), R'_0) = |V|-i+1$

这样就完成了还原。最后，我们证明它是正确的。

首先考虑哪个对顶点后者占优势，即 $\ell(i,j),\ell(i',j')\in L$

(\forall r \in R) π (ℓ (i, j), r) \leq π (ℓ (i^{'}, j^{'}), r) .

$(\forall r\in R)~\pi(\ell(i,j),r) \le \pi(\ell(i',j'), r).$

考虑到分配给入射到和边的利润，仅当才能满足此条件，并且在检查的其余边的定义时，条件就足够了。因此，当且仅当将和分配给和，并且对于每个， $R_0$ $R'_0$ $i=i'$ $\pi$ $i=i'$ $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $i\in V$

N (i) = {ℓ (i, j) : {i, j} \in E} \cup {ℓ^{'} (i, j) : {i, j} \in E} .

$N(i) = \{\ell(i,j) : \{i,j\}\in E\} \cup \{\ell'(i,j) : \{i,j\}\in E\}.$

首先，假设具有独立组大小的。如下从获得的公平匹配。 $G$ $I$ $k$ $G'$ $I$

将和匹配到和。 $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$

对于每个顶点，令是其三个入射边。对于每个边，将顶点及其伙伴到和。这给出了利润所有顶点。 $i\in I$ $\{i,j_1\}, \{i,j_2\}, \{i,j_3\}$ $\{i, j_h\}$ $\ell(i,j_h)$ $\ell'(i,j_h)$ $r(\{i,j_h\})$ $r'(\{i, j_h\})$ $N(i)$ $i$

对于中的每个顶点，对于入射到的三个边每一个，匹配及其伙伴到一对唯一的填充顶点及其伙伴。这使所有顶点的利润为。 $|V|-k$ $i\in V\setminus I$ $\{i,j\}$ $i$ $\ell(i,j)$ $\ell'(i,j)$ $r$ $r'$ $N(i)$ $0$

因此，这种匹配是公平的。

接下来，假定具有公平匹配。 $G'$ $M$

$M$ 必须将和与和。对于每个，匹配必须赋予的每个顶点相同的利润。对于每个，其伙伴也在。因此，通过检查减少量，每个这样的顶点的利润必须为（在这种情况下，中的所有六个顶点都与顶点及其伙伴匹配）或为零（在这种情况下，中的所有六个顶点都与填充顶点匹配）。让 $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $i\in V$ $N(i)$ $\ell(i,j)\in N(i)$ $\ell'(i,j)$ $N(i)$ $i$ $N(i)$ $r(\{i,j\})$ $N(i)$ $R$ $I$ 是前一种情况适用的一组顶点。对于每个边，顶点及其伙伴均与一个顶点匹配。因此，是一个独立的集合。由于填充顶点的数量为，所以的大小必须至少为。 $\{i,j\}$ $r(\{i,j\})$ $I$ $6(|V|-k)$ $I$ $k$

QED（？）

我认为，如果有点令人费解，那基本上是正确的。让我知道您是否发现任何错误，或简化证明的方法。

上面的减少假定可以取。如果那不是期望的，那么我猜我们可以用来填充填充顶点，为除和的边以外的所有边分配利润0 。我们可以将利润分配给后面的边，以确保填充顶点不被任何其他顶点所支配（也不主导）。 $|R|>|L|$ $L$ $|R|-|L|$ $R_0$ $R'_0$

— 尼尔·杨（Neal Young）
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