内部不相交的奇数长度st路径的最大数量

让$G$是一个无向简单图，让$s,t \in V(G)$是不同的顶点。令简单st路径的长度为路径上的边数。我感兴趣的是计算一组简单的st路径的最大大小，以使每个路径具有奇数长度，并且每对路径的顶点集仅在s和t中成对相交。换句话说，我正在寻找内部顶点不相交的奇数长度st路径的最大数量。我认为这应该是可以通过匹配或基于流的技术进行多项式时间计算的，但是我还无法提出一种算法。这是我对问题的了解。

1. 我们可以用偶数长度代替对奇数长度的限制；这实际上并不会影响问题，因为如果细分入射在s上的所有边，则一个会转换为另一个。

2. 如果对路径的奇偶性没有限制，则Menger定理给出答案，可以通过计算最大流量来获得答案。

3. 确定多项式中仅在给定顶点v上成对相交的不相交奇数个长度最大循环的问题可以通过匹配技巧在多项式时间内计算：建立图G'作为$(G - {v})$和$(G - N_G[v])$，在同一顶点的两个副本之间添加边；大小图中的最大匹配$|V(G)| - |N_G[v]| + k$表示通过的最大奇数周期是 k ; 这种结构在哈德维格猜想的奇异次要变式的引理11的证明中得到了描述。$v$$k$

4. 如果该图是有向的，则测试单个偶数长度st路径的存在已经是NP完整的。

5. 论文Lapaugh和Papadimitriou的图形和有向图的偶数路径问题可能是相关的，但不幸的是，我们的图书馆没有订阅在线档案，也没有纸质副本。

任何见解将不胜感激！

首先需要注意的是：给定的曲线图，两位杰出顶点小号，吨∈ V和整数ķ，决定是否有问题ķ内部之间的顶点不相交奇数长度的路径小号和吨是多项式等同于确定s和t之间是否存在k个偶数长度的路径。减少很容易。要从一种情况减少到另一种情况，只需细分与t相邻的每个边。令G $G=(V,E)$$s,t \in V$$k$$k$$s$$t$$k$$s$$t$$t$$G'$是获得的图。然后具有ķ之间奇数长度顶点不相交路径小号和吨当且仅当ģ '具有ķ之间偶数长度顶点不相交路径小号和吨。$G$$k$$s$$t$$G'$$k$$s$$t$

因此，如果其中一个问题是NP完全问题，那么另一个也是。现在，Itai，Perl和Shiloach表明，确定在s和t之间是否存在长度为5的顶点不相交路径的问题是NP完全的[ 寻找具有长度约束的最大不相交路径的复杂性。网络，第12卷，第3期，第277--286页，1982年。]减少量来自3SAT，在所构建的图中，s和之间的奇数长度路径$k$$s$$t$$s$长度都正好为5。因此，NP完全中的顶点不相交奇数长度路径问题以及顶点不相交偶数长度路径也是如此。$t$

希望这可以帮助。

（这不是一个答案，但是我不能发表评论）我认为上述答案不起作用，因为它不能保证路径是顶点不相交的。一个路径可以使用u'，而另一条路径可以使用G'；在G中，它们将使用相同的顶点u。