Questions tagged «circuit-complexity»

电路复杂性是对资源有限的电路及其功能的研究。

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？的固定深度表征。
这是关于电路复杂性的问题。（定义在底部。） Yao和Beigel-垂井表明，每大小的电路族小号具有大小的等效电路族小号p ø 升ý （日志小号）深度的2，其中输出门是对称函数和所述第二级包括的甲ñ d的栅极p ø 升ý （日志小号）ACC0ACC0ACC^0sssspoly(logs)spoly(log⁡s)s^{poly(\log s)}ANDANDANDpoly(logs)poly(log⁡s)poly(\log s)扇入 这是电路系列的一个相当显着的“深度崩溃”：从深度为100的电路，您可以将深度减小到2，而只有一个拟多项式爆炸（并且顶部只有一个奇特但受限制的栅极）。 我的问题：有没有类似的表达电路族的已知方法？更长远的目标，怎么样的ň c ^ 1个电路的家人吗？可能的答案将具有以下形式：“ 大小为s的每个T C 0电路都可以由深度为2的大小为f （s ）的二族来识别，其中输出门是X型的函数，而第二级门的类型是Y ”。TC0TC0TC^0NC1NC1NC^1TC0TC0TC^0sssf(s)f(s)f(s)XXXYYY 不必一定是深度2，任何固定深度的结果都会很有趣。证明每个电路可以由仅由对称功能门组成的电路在深度3中表示，将非常有意思。TC0TC0TC^0 一些小发现： 如果，则对于任何布尔函数来说答案都是微不足道的（我们可以将任何函数表示为2 n A N D s 的O R）。为了具体起见，我们要求f （n ）= 2 n o （1 ）。f(n)=2nf(n)=2nf(n)=2^nOROROR2n2n2^n ANDANDANDf(n)=2no(1)f(n)=2no(1)f(n) = 2^{n^{o(1)}} 如果允许或Y是可在T C 0中计算的任意函数，答案也很简单：:)我显然对“简单”函数感兴趣，无论这意味着什么。由于有些对称函数族是不可计算的，因此定义起来有点麻烦。（有些一元语言是无法计算的。）如果愿意，您可以在语句中简单地用对称函数替换X和Y，但是我对其他各种精巧的Gates 感兴趣。XXXYYYTC0TC0TC^0XXXYYY （现在简要回顾一下符号： 是由家庭的无界扇入深度不变电路与识别的类甲Ñ d， ø …
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任意一组门的电路下限
在1980年代，Razborov著名地证明了存在显式单调布尔函数（例如CLIQUE函数），它们需要按指数方式计算许多AND和OR门。但是，布尔域{0,1}上的基数{AND，OR}只是一个有趣的门集的一个例子，它没有通用。这导致了我的问题： 是否还有其他一组与单调门不同的有趣的门，其电路尺寸的指数下限是已知的（电路没有深度或其他限制）？如果不是这样，是否还有其他门框可以作为此类下限的合理候选者？这些边界不一定需要突破自然证明的障碍，而Razborov的单调电路结果却没有？ 如果存在这样的门集，那么对于k≥3，肯定会超过k元字母。原因是，在二进制字母上， （1）个单调门（{AND，OR}）， （2）个线性门（{NOT，XOR}），和 （3）个通用门（{AND，OR，NOT}） 基本上用尽了有趣的可能性，如下Post的分类定理所示。（请注意，我假设常量-在二进制情况下为-0和1-始终是免费提供的。）使用线性门时，每个布尔函数f：{0,1} n →{0,1}完全可以通过线性电路计算。有了通用集，我们当然会遇到自然证明和其他可怕的障碍。 另一方面，例如，如果我们考虑以3或4个符号字母表示的门集，则可能会出现更多的可能性-至少就我所知，这些可能性从未被完全描绘出来从复杂性理论的角度来看（如果我错了，请纠正我）。我知道在通用代数中以“克隆”为名对可能的门集进行了广泛的研究。我希望我能更熟悉该文献，以便知道该领域的结果对电路复杂性意味着什么。 在任何情况下，如果我们简单地将门集合的类别扩展到我们愿意考虑的有限字母上，似乎还有其他戏剧性的电路下界需要证明。如果我错了，请告诉我原因！
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为什么mod_m门很有趣？
瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）刚刚在ACC上发布了下界，该类问题具有恒定深度的电路，具有无限扇入和门AND，OR，NOT和MOD_m，适用于所有可能的m。 MOD_m门有什么特别之处？ 它们允许模拟任何环Z_m上的算术。 在Ryan得出结果之前，将MOD_m门加到混合中得到了第一类，但已知的下界不起作用。 还有其他自然原因来研究MOD_m门吗？
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固定一个整数时的整数乘法
令为大小为位的固定正整数。ñAAAnnn 允许对这个整数进行适当的预处理。 给定另一个大小为位的正整数，乘法的复杂度是多少？M A BBBBmmmABABAB 请注意，我们已经有算法。这里的查询是我们是否可以通过任何更聪明的方法使\ epsilon = 0？(max(n,m))1+ϵ(max(n,m))1+ϵ(\max(n,m))^{1+\epsilon}ϵ=0ϵ=0\epsilon=0
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是包含在？
我认为我会分享这个问题，因为这对其他用户来说可能很有趣。 假设属于统一类（例如）的函数也属于小的非统一类（例如，即非均匀），这意味着该函数包含在较小的统一类中（像）？如果对这个问题的回答是肯定的，那么包含的最小均匀复杂度等级是多少？如果为负，我们可以找到一个有趣的自然反例吗？NPNPNPAC0/polyAC0/polyAC^0/polyAC0AC0AC^0PPPNP∩AC0/polyNP∩AC0/polyNP \cap AC^0/poly 是包含在？AC0/poly∩NPAC0/poly∩NPAC^0/poly \cap NPPPP 注意：一位朋友已经离线离线回答了我的问题，如果他自己没有添加，我会添加他的答案。 这个问题是我对以下非正式问题进行形式化的第二次尝试： 非均匀性可以帮助我们计算自然均匀性问题吗？ 有关： 是否存在自然问题的候选人？P/poly−PP/poly−PP/poly−P
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由具有AND OR和XOR门的有界深度电路描述的傅里叶系数布尔函数
令为布尔函数，并考虑f为从到的函数。用这种语言，f的傅立叶展开只是按照平方自由单项式展开f的展开。（这单项式构成上实函数空间的基础。系数平方的总和仅为因此导致了平方根自由单项式的概率分布。我们将此分布称为F分布。fff{−1,1}n{−1,1}n\{-1,1\}^n{−1,1}{−1,1}\{ -1,1 \}2n2n2^n{−1,1}n{−1,1}n\{-1,1\}^n111fff 如果f可以由多项式大小的有界深度电路描述，那么我们可以根据Linial，Mansour和Nisan的一个定理知道，F分布集中于大小的单项式，直到权重几乎成倍地变小。这源自Hastad切换引理。（最直接的证明是最好的。）polylog npolylog n\text{polylog } n 当我们添加mod 2门时会发生什么？要考虑的一个示例是变量上的函数，它被描述为前n个变量和后n个变量的mod 2内积。在这里，F分布是均匀的。IP2nIP2nIP_{2n}2n2n2n 问题：布尔函数的F分布是否由有界深度多项式大小AND，OR，或MOD电路描述（最大误差为超多项式小误差）集中在 “水平”上？22_2o(n)o(n)o(n) 备注： 一个反例的可能途径是在不相交的变量集上以某种方式“粘合”各种IP 2k2k_2k，但我不知道该怎么做。也许应该弱化这一问题，并允许为变量分配一些权重，但是我也没有一种明确的方法。（所以提到这两个问题也是我要问的一部分。） 我推测当您允许使用mod kk_k门时，对该问题（或成功的变体）的肯定回答也将适用。（所以问这个问题是由于Ryan Williams最近令人印象深刻的ACC结果。） 对于多数而言，每个“级别”的F分布都很大（1 / poly）。 如Luca所示，我提出的问题的答案为“否”。剩下的问题是提出寻找布尔函数F分布属性的方法，这些属性可以由AND OR和MAJORITY不共享的mod 2门描述。 尝试通过谈论MONOTONE函数来保存问题： 问题：MONOTONE布尔函数的F分布是否由有界深度多项式大小AND，OR或MOD电路描述（最大为多项式小误差）集中在 “水平”上？22_2o(n)o(n)o(n) 我们可能推测我们甚至可以用代替，因此针对此强版本的反例可能很有趣。 o(n)o(n)o(n)polylog(n)polylog(n)\text{polylog} (n)
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确定给定的
确定具有输入位和输出位的电路是否计算的排列的复杂性是什么？换句话说，中的每个位串是否都是 某个输入的电路输出？它看起来像一个已经研究过的问题，但是我找不到任何参考。氮碳0ñC0\mathsf{NC}^0Ñññnññn { 0 ，1 } Ñ{ 0 ，1 }ñ{0，1个}ñ\{0,1\}^n{0 ，1 }ñ{0，1个}ñ\{0,1\}^n
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自然证明的构造性和几何复杂性
最近，瑞安·威拉姆斯（Ryan Willams）证明了自然证明中的可构造性不可避免地要推导出复杂度类别的分离：和。 NEXPNEXP\mathsf{NEXP}TC0TC0\mathsf{TC}^{0} 自然证明中的可构造性是所有电路复杂度的组合证明都满足的条件，并且我们可以通过运行算法来确定（或其他“困难”复杂性类别）中的目标函数是否具有“困难”属性在目标函数真值表的长度中的poly-time中。NEXPNEXP\mathsf{NEXP} 其他两个条件是：的任何电路都无法计算出需要“硬”属性的无用条件，以及容易找到该硬属性的大型条件。TC0TC0\mathsf{TC}^0 我的问题是： 此结果是否使几何复杂度理论（GCT）无法用于解决主要分离问题，例如与，与或 vs吗？PP\mathsf{P}NPNP\mathsf{NP}PP\mathsf{P}NCNC\mathsf{NC}NEXPNEXP\mathsf{NEXP}TC0TC0\mathsf{TC}^0 参考文献： Ryan Williams，“ 自然证明与非随机化 ”
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AC0函数的公式大小下限
题： 什么是AC 0中显式函数的最著名公式大小下限是多少？是否存在一个下限为Ω （n 2）的显式函数Ω(n2)\Omega(n^2)？ 背景： 像大多数下限一样，公式大小的下限也很难获得。我对标准通用门集{AND，OR，NOT}上的公式大小下限感兴趣。 对于此门集上的显式函数，最著名的公式大小下限是对于由Andreev定义的函数。霍斯塔德（Håstad）显示了此界限，从而改善了安德列夫（Andreev）的下界。另一个明确的下限是奇偶校验函数的Khrapchenko的下界。Ω （n 3 - o （1 ））Ω(n3−o(1))\Omega(n^{3-o(1)})Ω （n 2.5 - o （1 ））Ω(n2.5−o(1))\Omega(n^{2.5-o(1)})Ω （n 2）Ω(n2)\Omega(n^2) 但是，这两个功能不在AC 0中。我想知道我们是否知道AC 0中具有显式下限（或更佳）的显式函数。我知道的最佳界限是元素差异函数的下界，如Nechiporuk所示。请注意，元素唯一性函数位于AC 0中，因此我正在寻找比更好，最好是的显式AC 0函数的下限。。Ω(n2/logn)Ω(n2/logn)\Omega(n^2/\log n)Ω(n2/logn)Ω(n2/logn)\Omega(n^2/\log n)Ω(n2)Ω(n2)\Omega(n^2) 进一步阅读： Stasys Jukna撰写的有关该主题的出色资源是“布尔函数复杂性：高级与前沿”。这本书的草稿可在他的网站上免费获得。
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近似
编辑（v2）：在末尾添加了关于我对该问题的了解的部分。 编辑（v3）：最后添加了关于阈值度的讨论。 题 这个问题主要是参考要求。我对这个问题不太了解。我想知道以前是否有关于这个问题的工作，如果是，有人可以指出我有关该问题的任何论文吗？我还想知道当前的近似最佳边界。任何其他信息（例如历史信息，动机，与其他问题的关系等）也将受到赞赏。AC0AC0\textrm{AC}^0 定义 让f:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}是布尔函数。令ppp为具有实系数的变量至的多项式。多项式的阶数是所有单项式的最大阶数。单项式的次数是该单项式中出现的各种的指数之和。例如。x1x1x_1xnxnx_nxixix_ideg(x71x23)=9deg(x17x32)=9\textrm{deg}(x_1^7x_3^2) = 9 如果对于所有，则多项式称为 epsilon-近似。布尔函数的近似度，表示为，是近似的多项式的最小度。对于一组函数，是最小次数这样中的每个函数都可以被逼近，次数最多为的多项式pppϵϵ\epsilonfff|f(x)−p(x)|&lt;ϵ|f(x)−p(x)|&lt;ϵ|f(x)-p(x)|<\epsilonxxxϵϵ\epsilonfffdeg˜ϵ(f)deg~ϵ(f)\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(f)ϵϵ\epsilonfffFFFdeg˜ϵ(F)deg~ϵ(F)\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(F)dddFFFϵϵ\epsilonddd。 注意，每个函数都可以用多项式表示，而不会出现错误。某些函数确实确实需要多项式才能近似于任何恒定误差。奇偶校验就是这种功能的一个例子。nnnnnn 问题陈述 什么是？（常数1/3是任意的。）deg˜1/3(AC0)deg~1/3(AC0)\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0) 笔记 我在Paul Beame和Widad Machmouchi 的论文《 AC0的量子查询复杂度》中遇到了这个问题。他们说 同样，我们的结果也无助于缩小AC0函数近似度的下限。 他们在致谢中也提到“ AC0近似度的问题”。 因此，我认为以前对此问题已有过研究吗？有人可以指出我有关该问题的论文吗？什么是最著名的上限和下限？ 我对这个问题的了解（在问题的 v2中添加了此部分） 最熟知的上上限是知道的是微不足道的上限Ñ。最好的下界，我知道来自阿伦森和施氏下界碰撞和元素明显的问题，这给下界〜Ω（ñ 2 / 3）。（对于AC 0的严格限制版本，例如公式大小为o （n 2）的公式，或深度为2的o （n 2）回路deg˜1/3(AC0)deg~1/3(AC0)\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)nnnΩ~(n2/3)Ω~(n2/3)\tilde{\Omega}(n^{2/3})AC0AC0\textrm{AC}^0o(n2)o(n2)o(n^2)o(n2)o(n2)o(n^2)门，我们可以使用量子查询复杂度证明上限。）o(n)o(n)o(n) 相关：阈值度（在v3中添加） 正如Tsuyoshi在评论中指出的那样，该问题与确定的阈值度的问题有关。函数f的阈值度是多项式p的最小度，使得f （x ）= 1AC0AC0\textrm{AC}^0fffppp且 f （x ）= 0f(x)=1⟹p(x)&gt;0f(x)=1⟹p(x)&gt;0f(x)=1 \implies p(x)>0。f(x)=0⟹p(x)&lt;0f(x)=0⟹p(x)&lt;0f(x)=0 \implies p(x)<0 Sherstov现在已改善了阈值程度的下限。他针对阈值度接近Ω …
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为什么哈密尔顿循环与永久循环如此不同？
多项式是单调凸起的多项式克（Ý 1，... ，ÿ 米）如果米 =聚（Ñ ），并且有一个赋值 π ：{ Ý 1，... ，ÿ 米 } → { X 1，... ，X ñ，0 ，1f(x1,…,xn)f(x1,…,xn)f(x_1,\ldots,x_n)g(y1,…,ym)g(y1,…,ym)g(y_1,\ldots,y_m)mmm(n)(n)(n) ，使得 f （x 1，… ，x n）= g （π （y 1），… ，π （y m））。也就是说，有可能替换每个变量 ÿ Ĵ的克由可变 X 我或恒定 0或 1，使得所得多项式重合与 ˚F。 π:{y1,…,ym}→{x1,…,xn，0 ，1 }π:{y1,…,ym}→{x1,…,xn,0,1}\pi:\{y_1,\ldots,y_m\}\to\{x_1,\ldots,x_n, 0,1\}F（x1个，… ，xñ）= g（π（y1个），… ，π（y米））f(x1,…,xn)=g(π(y1),…,π(ym))f(x_1,\ldots,x_n)=g(\pi(y_1),\ldots,\pi(y_m))ÿĴyjy_jGggX一世xix_i0001个11Fff 我对永久多项式PER和汉密尔顿循环多项式HAM之间的差异感兴趣（原因）： ，其中所述第一求和是在 所有排列ħ …
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