自然证明的构造性和几何复杂性

最近，瑞安·威拉姆斯（Ryan Willams）证明了自然证明中的可构造性不可避免地要推导出复杂度类别的分离：和。 $\mathsf{NEXP}$$\mathsf{TC}^{0}$

自然证明中的可构造性是所有电路复杂度的组合证明都满足的条件，并且我们可以通过运行算法来确定（或其他“困难”复杂性类别）中的目标函数是否具有“困难”属性在目标函数真值表的长度中的poly-time中。$\mathsf{NEXP}$

其他两个条件是：的任何电路都无法计算出需要“硬”属性的无用条件，以及容易找到该硬属性的大型条件。$\mathsf{TC}^0$

我的问题是：

此结果是否使几何复杂度理论（GCT）无法用于解决主要分离问题，例如与，与或 vs吗？$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NC}$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{TC}^0$

参考文献：

• Ryan Williams，“ 自然证明与非随机化 ”

不，建构性的不可避免性肯定还是叶GCT上下限的问题，如攻击的可行的计划开放与P / p Ø 升ÿ。$NP$$P/poly$

首先，值得一提的是，赖安（Ryan）关于构造性的结果在形式上与Mulmuley所谓的“翻转定理”非常相似，例如，如果永久性不具有多尺寸算术电路，则存在一个（多项式）矩阵随机多时间可构造集，使得每个小电路都不同于其中一个矩阵的永久性。参见“ 显式证明和翻转”，技术报告，芝加哥大学计算机科学系， Mulmuley ，2010年9月。$\{M_1, \dotsc, M_{p(n)}\}$

第二，自Regan的调查以来，对称特征（在Suman中已经提到过）在GCT中的中心地位变得更加明显。如果对称性表征对于GCT来说似乎至关重要，那么这已经绕开了大局限。有关对称性的定义，请参见前面一个密切相关的问题的答案。

对于证明对称特性违反广大，见第3.4.3节“对称特性避免了Razborov-Rudich屏障”在我的论文（无耻的自我插头，但我不知道其他任何地方，这是写下来，完全） 。我怀疑它也违反了建设性，但在那儿悬而未决。（在第3章的早期，还对GCT中的翻转定理及其与对称特征的关系进行了概述。）

（我发现有趣的是，对称性-我们怀疑将在绕过Razborov-Rudich的GCT中使用的性质-用来证明翻转定理，从本质上讲，它是必要的。）

最后，值得一提的是，尽管从长远来看，GCT旨在解决与P / p o l y和其他布尔问题，但目前GCT的大部分工作都集中在这些的代数类似物上，例如复数形式。数字，并且还没有Razborov-Rudich（我知道）的代数类似物。$NP$$P/poly$

首先，我要纠正一个可能的误解：不幸的是我们不知道的还以为。我最近的下界Ñ Ë X P ∩ Ç ö Ñ Ë X P ⊄ 甲Ç Ç。$NEXP \not\subset TC^0$$NEXP \cap coNEXP \not\subset ACC$

现在，您的问题的答案是否定的。基于GCT的技术仍然很有可能将与N P分开。$P$$NP$

关于此的更多评论：过去已经讨论了GCT和自然证明之间的关系（甚至在原始GCT论文本身中）。尽管对于GCT方法是否会违反“建设性”或“大型”似乎尚未达成共识，但Mulmuley和Sohoni确实提出了一个观点，即如果可以实施GCT，那么它应该违反大型性。有关相关参考，请参阅Regan GCT概述的第6节。但是，我要补充的是，此概述已经有10年的历史了，自那时以来，GCT已进行了大量工作。我不确定对此是否有任何修改/新的意见。（也许乔什·格罗夫（Josh Grochow）可以发出声音吗？）

简短的答案是“ 否”。

几何复杂性理论方法针对的是某些极其稀有的属性，Mulmuley认为这不是Razborov和Rudich所定义的“大”属性。有关形式上的论点，另请参见约书亚·格罗霍（Joshua Grochow）的论文，第3.4.3节“ 对称表征”避免了Razborov–Rudich障碍及其答案。

下一段来自Ketan Mulmuley 撰写的《论P与NP和几何复杂性理论》（JACM 2011或手稿）第4.3节“高级计划”：

目的是通过永久性和行列式的对称性来明确地执行这些步骤。稍后我们将指定显式含义。cf. 假设4.6。从某种意义上说，此方法极其严格，因为它仅适用于以对称性为特征的极为罕见的硬功能。这种极端的刚性远远超过了绕过自然屏障的需要[Razborov and Rudich 1997]。

由于构造性和大型性的条件都是自然证明所必需的（其中有用性是隐含的），因此证明构造性不可避免是不足以排除这种方法的（尽管向前迈出了一大步）。