确定给定的

确定具有输入位和输出位的电路是否计算的排列的复杂性是什么？换句话说，中的每个位串是否都是 某个输入的电路输出？它看起来像一个已经研究过的问题，但是我找不到任何参考。$\mathsf{NC}^0$$n$$n$ { 0 ，1 } $\{0,1\}^n$$\{0,1\}^n$

硬度

根据您对问题的评论，我们将调用一个电路，其中每个输出位最多取决于 k个输入位的电路称为“ NC ⁰ _k电路”。使用此术语，对于NC ⁰ ₅电路，您的问题是coNP完全的。即，以下问题是coNP完全的。

实例：具有n个输入位和n个布尔电路C输出位其中每个输出位最多取决于五个输入位。
问题：{0,1} ⁿ到其自身的映射是否由C双射算出的？

正如Kaveh所评论的那样，即使没有限制每个输出位所依赖的输入位的数量，它显然也处于coNP中。为了证明coNP硬度，我们将3SAT减少到当前问题的补充。减少的关键思想与Durand在论文[Dur94]中使用的思想相同，我在对该问题的评论中提到过，但是在我们的案例中，整个减少过程要简单得多。

给定一个具有n个变量和m个子句的3CNF公式φ，我们构造具有（n + m）个输入位和（n + m）个输出位的布尔电路C，如下所示。我们标记输入比特为X ₁，...，X _Ñ，ÿ ₁，...，ÿ _米，并且输出位作为X ' ₁，...，X ' _Ñ，Ž ₁，...，ž _米。我们认为输入位x₁，…，x _n为φ中的n个变量指定一个真值分配。

• X ' _我 = X _我为1≤ 我 ≤ Ñ。即，输入的前n位总是复制到输出的前n位。
• 对于1≤ 我 ≤ 米，如果我的第子句φ被满足，然后ž _我 = ÿ _我 ⊕ ÿ _{我 1}，其中下标被解释模米。否则，z _i = y _i。

注意，每个输出位最多取决于五个输入位。我省略了减少的正确性的证明，但是关键思想（我是从[Dur94]借来的）是，如果φ是可满足的，并且输入位x ₁，…，x _n被设置为φ的令人满意的赋值，则所述米输出位ž ₁，...，ž _米被约束为具有偶校验，因此电路不能是置换。另一方面，如果输入位x ₁，…，x _n设置为 φ的不令人满意的分配，则输出位 z₁，…，z _m可以设置为任何值；因此，如果φ不满足，则电路是一个排列。

可牵引性

在易处理方面，对于NC ⁰ ₂电路，您的问题出在P上。如下所示。通常，布尔电路中用于置换的每个输出位是平衡的；也就是说，恰好一半的输入字符串将输出位设置为1。但是，从{0,1} ²到{0,1}的每个平衡布尔函数都是仿射的；即单个输入位的副本，两个输入位的XOR或它们的取反。因此，我们可以首先检查每个输出位是否平衡，然后通过高斯消去法检查双射性。

对于NC ⁰ ₃电路或NC，我不知道复杂性 ⁰ ₄电路，。

参考文献

[Dur94]布鲁诺·杜兰德。二维细胞自动机的反演：导致一些复杂性。 理论计算机科学，134（2）：387–401，1994年11月。DOI：10.1016 / 0304-3975（94）90244-5。