近似

编辑（v2）：在末尾添加了关于我对该问题的了解的部分。

编辑（v3）：最后添加了关于阈值度的讨论。

题

这个问题主要是参考要求。我对这个问题不太了解。我想知道以前是否有关于这个问题的工作，如果是，有人可以指出我有关该问题的任何论文吗？我还想知道当前的近似最佳边界。任何其他信息（例如历史信息，动机，与其他问题的关系等）也将受到赞赏。$\textrm{AC}^0$

定义

让$f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$是布尔函数。令$p$为具有实系数的变量至的多项式。多项式的阶数是所有单项式的最大阶数。单项式的次数是该单项式中出现的各种的指数之和。例如。$x_1$$x_n$$x_i$$\textrm{deg}(x_1^7x_3^2) = 9$

如果对于所有，则多项式称为 epsilon-近似。布尔函数的近似度，表示为，是近似的多项式的最小度。对于一组函数，是最小次数这样中的每个函数都可以被逼近，次数最多为的多项式$p$$\epsilon$$f$$|f(x)-p(x)|<\epsilon$$x$$\epsilon$$f$$\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(f)$$\epsilon$$f$$F$$\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(F)$$d$$F$$\epsilon$$d$。

注意，每个函数都可以用多项式表示，而不会出现错误。某些函数确实确实需要多项式才能近似于任何恒定误差。奇偶校验就是这种功能的一个例子。$n$$n$

问题陈述

什么是？（常数1/3是任意的。）$\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$

笔记

我在Paul Beame和Widad Machmouchi 的论文《 AC0的量子查询复杂度》中遇到了这个问题。他们说

同样，我们的结果也无助于缩小AC0函数近似度的下限。

他们在致谢中也提到“ AC0近似度的问题”。

因此，我认为以前对此问题已有过研究吗？有人可以指出我有关该问题的论文吗？什么是最著名的上限和下限？

我对这个问题的了解（在问题的 v2中添加了此部分）

最熟知的上上限是知道的是微不足道的上限Ñ。最好的下界，我知道来自阿伦森和施氏下界碰撞和元素明显的问题，这给下界〜Ω（ñ 2 / 3）。（对于AC 0的严格限制版本，例如公式大小为o （n 2）的公式，或深度为2的o （n 2）回路$\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$$n$$\tilde{\Omega}(n^{2/3})$$\textrm{AC}^0$$o(n^2)$$o(n^2)$门，我们可以使用量子查询复杂度证明上限。）$o(n)$

相关：阈值度（在v3中添加）

正如Tsuyoshi在评论中指出的那样，该问题与确定的阈值度的问题有关。函数f的阈值度是多项式p的最小度，使得f （x ）= $\textrm{AC}^0$$f$$p$且 f （x ）= $f(x)=1 \implies p(x)>0$。$f(x)=0 \implies p(x)<0$

Sherstov现在已改善了阈值程度的下限。他针对阈值度接近Ω （√的 n个变量）展示了一系列恒定深度的一次读取公式$\mathrm{AC}^0$$n$随着深度达到无穷大，这几乎是紧密的，因为一次读取的公式具有阈值（甚至近似）度O（$\Omega(\sqrt{n})$。参见http://eccc.hpi-web.de/report/2014/009/。（2014年1月）$O(\sqrt{n})$

Mark Bun和Justin Thaler的论文最近（2017年3月中旬）发布在ECCC上，该论文正好回答了这个问题：“ AC0近似度的近似最佳下界”

他们声称，对于任何，存在一个函数˚F在甲Ç 0使得〜d ë 克 1 / 3（˚F ）= Ω （Ñ 1 - δ），几乎闭合的间隙与琐碎ø （Ñ ）上限。他们用一般的方法来实现这一点，即用亚线性近似度提高函数的近似度，同时保持变量数量为准线性。从摘要：$\delta > 0$$f$$\mathrm{AC}^0$$\widetilde{\mathrm{deg}}_{1/3}(f) = \Omega(n^{1-\delta})$$O(n)$

$f$$d$$F$$O(n \cdot \mathrm{polylog}(n))$$D = Ω(n^{1/3} · d^{2/3} )$$d = n^{1−Ω(1)}$$D$$d$$f$$F$

这是此问题下限的最新更新，这是向前迈出的重要一步。本文的“简介”和“应用”部分也为先前的工作和相关问题提供了很好的参考。

免责声明：我还没有仔细阅读本文。