为什么哈密尔顿循环与永久循环如此不同？

多项式是单调凸起的多项式如果 =聚，并且有一个赋值 $f(x_1,\ldots,x_n)$ $g(y_1,\ldots,y_m)$ $m$ $(n)$ ，使得。也就是说，有可能替换每个变量的由可变或恒定或，使得所得多项式重合与。 $\pi:\{y_1,\ldots,y_m\}\to\{x_1,\ldots,x_n, 0,1\}$ $f(x_1,\ldots,x_n)=g(\pi(y_1),\ldots,\pi(y_m))$ $y_j$ $g$ $x_i$ $0$ $1$ $f$

我对永久多项式PER和汉密尔顿循环多项式HAM之间的差异感兴趣（原因）：，其中所述第一求和是在所有排列

{PER}_{n} (x) = \sum_{h} \prod_{i = 1}^{n} x_{i, h (i)} and {HAM}_{n} (x) = \sum_{h} \prod_{i = 1}^{n} x_{i, h (i)}

$\mbox{PER}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}\ \ \ \ \mbox{and} \ \ \ \ \mbox{HAM}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}$

，第二个仅在所有循环置换

。

h : [n] \to [n]

$h:[n]\to[n]$

h : [n] \to [n]

$h:[n]\to[n]$

问题：为什么HAM 不是单调投影PER？还是现在呢？

我不要求提供证明，仅出于直观原因。

动机：已知的最大单调电路下界PER（由Razborov证明）保持“仅” 。在另一方面，结果勇士暗示其中与求和是在所有子集大小 $n^{\Omega(\log n)}$

CLIQUE_{n} is a monotone projection of HAM_{m}

$\mbox{CLIQUE$_n$ is a monotone projection of HAM$_{m}$}$

{CLIQUE}_{n} (x) = \sum_{S} \prod_{i < j \in S} x_{i, j}

$\mbox{CLIQUE}_n(x)=\sum_{S}\prod_{i < j\in S}x_{i,j}$

S \subseteq [n]

$S\subseteq [n]$

。我自己无法从这些一般结果中得到“简单，直接”的减少，但是Alon和Boppana声称（在第5节中）已经

足以实现这种减少。

| S | = \sqrt{n}

$|S|=\sqrt{n}$

m = 25 n^{2}

$m=25n^2$

但等待：它是公知的是CLIQUE需要大小的单调电路（首先由阿龙和Boppana证明使用Razborov法）。 $2^{n^{\Omega(1)}}$

所以，是HAM PER的单调投影，我们将有下也开往PER。 $2^{n^{\Omega(1)}}$

实际上，为什么 HAM甚至不是PER 的非单调投影？在布尔半环上，前者是NP完全的，而后者在P中。但为什么？循环的排列在哪里如此特别呢？

PS一个明显的区别可能是：HAM仅覆盖一个（长）周期[n]，而PER可以为此使用不相交的周期。因此，投射到PER HAM硬方向似乎是：确保没有一个汉密尔顿的周期的意味着不存在与在新的图形不相交的周期内的任何覆盖物。这是HAM不能预测PER的原因吗？

PPS实际上，勇士证明了一个更令人印象深刻的结果：每多项式与，其系数是p时间可计算，是投影（不一定单调如果ALGO是非单调）的HAM 为 =聚 $f(x)=\sum_{u\subseteq [n]}c_u\prod_{i\in u}x_i$ $c_u\in\{0,1\}$ $c_u$ $_m$ $m$ $(n)$ 。PER也具有此属性，但仅在特征字段上。所以，在这个意义上说，火腿和PER 是的确是“相似”，除非我们是不是在GF（2）其中，布鲁诺想起，PER转向的决定因素，而且是容易的。 $\neq 2$

— Stasys
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我有一个关于这个话题的问题。我想问一下，为什么布尔半环上的PERMANENT在P中？我不知道这种算法。

— caozhu 2014年

@caozhu：这仅仅是因为在布尔半环上，PERMANENT与DETERMINANT相同。那么该算法是任何决定算法。

— 布鲁诺

{\lor, \land, \neg}

$\{\lor,\land,\neg\}$

n^{5 / 2}

$n^{5/2}$

以下是对特征零的任何环的证明，即哈密顿循环多项式不是永久物的多项式大小单调投影。基本思想是，具有非负系数的多项式的单调投影会导致其中一个的牛顿多拓扑成为另一种牛顿多拓扑的扩展形式，然后将最近的下界应用于扩展形式。

$f(x_1,\dotsc,x_n)$ $g(y_1,\dotsc,y_m)$ $f$ $g$ $\pi$ $\pi$ $g$ $f$

$New(f)$ $f$ $New(g)$

$New(f)$ $\mathbb{R}^m$ $\leq n+m$ $n+m$ $New(g)$

$e_1,\dotsc,e_m$ $\mathbb{R}^m$ $New(g)$ $\mathbb{R}^m$ $(e_1,\dotsc,e_m)$ $y_1^{e_1} \dotsb y_m^{e_m}$ $i$ $\pi(y_i)=0$ $New(g)$ $\{e_i = 0\}$ $y_i$ $m$ $P$ $\pi$ $L_{\pi}\colon \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{n}$ $L_{\pi}(P) = New(f)$ $New(f)$ $n+m$ $P$ $m$ $L_{\pi}$ $n$ $x_i$

$f$ $n$ $g$ $m$ $f$ $g$ $e_{ij}$ $m$

$2^{n^{\Omega(1)}}$ $m$ $L_{\pi}$

$f$ $g$ $\pi$ $L_{\pi}$ $New(f)$

$\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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一个非常好的论点。这正是我想要的！实际上，扩展的LP公式模拟了Valiant的投影（至少是单调）。

— Stasys