Questions tagged «arithmetic-circuits»

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固定一个整数时的整数乘法
令为大小为位的固定正整数。ñAAAnnn 允许对这个整数进行适当的预处理。 给定另一个大小为位的正整数,乘法的复杂度是多少?M A BBBBmmmABABAB 请注意,我们已经有算法。这里的查询是我们是否可以通过任何更聪明的方法使\ epsilon = 0?(max(n,m))1+ϵ(max(n,m))1+ϵ(\max(n,m))^{1+\epsilon}ϵ=0ϵ=0\epsilon=0

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为什么哈密尔顿循环与永久循环如此不同?
多项式是单调凸起的多项式克(Ý 1,... ,ÿ 米)如果米 =聚(Ñ ),并且有一个赋值 π :{ Ý 1,... ,ÿ 米 } → { X 1,... ,X ñ,0 ,1f(x1,…,xn)f(x1,…,xn)f(x_1,\ldots,x_n)g(y1,…,ym)g(y1,…,ym)g(y_1,\ldots,y_m)mmm(n)(n)(n) ,使得 f (x 1,… ,x n)= g (π (y 1),… ,π (y m))。也就是说,有可能替换每个变量 ÿ Ĵ的克由可变 X 我或恒定 0或 1,使得所得多项式重合与 ˚F。 π:{y1,…,ym}→{x1,…,xn,0 ,1 }π:{y1,…,ym}→{x1,…,xn,0,1}\pi:\{y_1,\ldots,y_m\}\to\{x_1,\ldots,x_n, 0,1\}F(x1个,… ,xñ)= g(π(y1个),… ,π(y米))f(x1,…,xn)=g(π(y1),…,π(ym))f(x_1,\ldots,x_n)=g(\pi(y_1),\ldots,\pi(y_m))ÿĴyjy_jGggX一世xix_i0001个11Fff 我对永久多项式PER和汉密尔顿循环多项式HAM之间的差异感兴趣(原因): ,其中所述第一求和是在 所有排列ħ …

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行列式和永久性的下界
鉴于最近在深度3处产生的鸿沟(除其他事项外,它针对的行列式产生了深度3算法电路),我有以下问题:格里戈里耶夫(Grigoriev)和卡尔平斯基(Karpinski)证明了在任何深度3算术电路中,在有限域上计算矩阵的行列式的下限为(我猜,也适用于永久)。用于计算永久性的Ryser公式给出了深度为3的算术电路,大小为Ñ×ÑÇ2Ω(Ñ)Ñ×ñø(Ñ22Ñ)=2Ö(Ñ)2ñ√日志ñ2nlog⁡n2^{\sqrt{n}\log{n}}n × nn×nn \times n CC\mathbb{C}2Ω(n)2Ω(n)2^{\Omega{(n)}}n×nn×nn \times nO(n22n)=2O(n)O(n22n)=2O(n)O(n^2 2^n) = 2^{O(n)}。这表明对于有限域上的永久性深度3电路,结果基本上是紧密的。我有两个问题: 1)行列式有一个深度为3的公式,类似于永久性的Ryser公式? 2)计算行列式多项式\ textit {always}的算术电路大小的下界是否会产生永久多项式的下界?(在它们是相同的多项式)。F2F2\mathbb{F}_2 尽管我目前的问题是关于有限域上的这些多项式,但我也想知道这些问题在任意域上的状态。

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单调算术电路
我们对通用算术电路的了解程度似乎与对布尔电路的了解相近,即我们没有良好的下界。另一方面,对于单调布尔电路,我们有指数大小的下界。 我们对单调算术电路了解多少?我们是否有类似的下限?如果不是,那么根本的区别是什么使我们无法获得单调算术电路的类似下限? 这个问题的灵感来自对此问题的评论。

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仅具有一个阈值门的算术电路
当受限于 -输入,每 -电路计算一些函数。要获得布尔函数,我们只需添加一个fanin-1阈值门作为输出门即可。在输入,结果阈值 - 电路在输出,在输出 ; 阈值可以是任何正整数,可能取决于1 { + ,× } ˚F (X 1,... ,X Ñ)˚F :{ 0 ,1 } Ñ → Ñ一个∈ { 0 ,1 } Ñ { + ,× } 1 ˚F (一)≥ 吨0 ˚F (一)≤ 吨- 1 吨= 吨ñ ñ0001个11{ + ,× }{+,×}\{+,\times\}F(x1个,… ,xñ)F(x1,…,xn)F(x_1,\ldots,x_n)F:{ 0 ,1 }ñ→ …

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是否可以测试可计算数字是有理数还是整数?
是否可以通过算法测试可计算数是有理数还是整数?换句话说,将有可能为图书馆实现可计算数提供的功能isInteger还是isRational? 我猜测这是不可能的,并且这在某种程度上与以下事实有关:无法测试两个数字是否相等,但是我看不出如何证明这一点。 编辑:可计算的数字xxx由函数给出,该函数fx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)可以返回精度为ϵ的的有理近似值:| x − f x(ϵ )| ≤ ε,对于任何ε > 0。鉴于这样的功能,就是可以测试,如果X ∈ Q或X ∈ ž?xxxϵϵ\epsilon|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonϵ>0ϵ>0\epsilon > 0x∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}x∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}
18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 

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任何难于计数但易于确定的多项式?
每个单调算术电路,即电路,都会计算一些具有非负整数系数的多元多项式F (x 1,… ,x n)。给定多项式 ,电路{+,×}{+,×}\{+,\times\}F(x1,…,xn)F(x1,…,xn)F(x_1,\ldots,x_n)f(x1,…,xn)f(x1,…,xn)f(x_1,\ldots,x_n) 如果对于所有都成立,则计算; fffF(a)=f(a)F(a)=f(a)F(a)=f(a)a∈Nna∈Nna\in \mathbb{N}^n 如果对于所有成立,则计算; fffF(a)=f(a)F(a)=f(a)F(a)=f(a)a∈{0,1}na∈{0,1}na\in\{0,1\}^n 对于所有当成立 时,确定是否恰好满足。 fffF(a)>0F(a)>0F(a)>0f(a)>0f(a)>0f(a)>0a∈{0,1}na∈{0,1}na\in\{0,1\}^n 我知道显式多项式(甚至是多线性的)表明电路大小的间隙“计算/计数”可以是指数的。我的问题涉及“计数/决定”的差距。fff 问题1:是否有人知道多项式计算比由{ + ,× }-回路决定的指数难计算? fff{+,×}{+,×}\{+,\times\} 作为一个可能的候选者,人们可以采取的路径多项式其变量对应于完整图的边上{ 1 ,... ,Ñ },并且每个单项对应于简单的路径从节点1到节点ñ在ķ Ñ。该多项式可以决定通过尺寸的电路ø (Ñ 3)实施,也就是说,贝尔曼-福特动态规划算法,它是相对容易证明,每{ + ,× } -电路计算KnKnK_n{1,…,n}{1,…,n}\{1,\ldots,n\}111nnnKnKnK_nO(n3)O(n3)O(n^3){+,×}{+,×}\{+,\times\}PATH必须有大小。 2Ω(n)2Ω(n)2^{\Omega(n)} 在另一方面,每个电路计数 PATH解决 PATH问题,即,计数的数目1 -到- ñ路径在由对应的指定的0 - 1的输入子图ķ Ñ。这就是所谓的# P -完全问题。因此,我们所有人都“相信” PATH不能具有多项式大小的任何计数{ + ,× }-电路。“唯一”的问题是证明这一点... ##\#111nnn000111KnKnK_n##\#{+,×}{+,×}\{+,\times\} 我可以证明,计算相关汉密尔顿路径多项式HP的每个电路都需要指数大小。该多项式对应的单项式1 -到- …

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热带半环上的多项式的VC维?
就像这个问题一样,我对热带(max ,+ )和(min ,+ )电路的B P PBPP\mathbf{BPP}与PP\mathbf{P} / p o l ypoly\mathrm{poly} 问题感兴趣。这个问题简化为显示热带半环上多项式的VC维的上限(请参见下面的定理2)。 (max,+)(\max,+)(min,+)(\min,+) 令R为半环。甲零图案的序列的(˚F 1,... ,˚F 米)的米多项式- [R [ X 1,... ,X Ñ ]是子集小号⊆ { 1 ,... ,米}为其中存在X ∈ [R Ñ和ÿ ∈ [R使得对于所有我= 1 ,...RR(f1,…,fm)(f_1,\ldots,f_m)mmR[x1,…,xn]R[x_1,\ldots,x_n]S⊆{1,…,m}S\subseteq \{1,\ldots,m\}x∈Rnx\in R^ny∈Ry\in R,米, ˚F 我(X )= ÿ当且仅当我∈ 小号。也就是说,究竟那些多项式的曲线图 ˚F 我与我∈ 小号必须击中点(X ,ÿ )∈ [R …

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基本对称多项式的单调算术电路复杂度?
第kkk个基本对称多项式Snk(x1,…,xn)Skn(x1,…,xn)S_k^n(x_1,\ldots,x_n)是所有 k个不同变量的乘积。我对该多项式的单调算术(+,×)电路复杂度感兴趣。一个简单的动态编程算法(以及下面的图1)给出了一个具有O(kn)门的(+,×)电路。(nk)(nk)\binom{n}{k}kkk(+,×)(+,×)(+,\times)(+,×)(+,×)(+,\times)O(kn)O(kn)O(kn) 问题: 是否 知道的下限? Ω(kn)Ω(kn)\Omega(kn) 甲电路是歪斜如果每个产品门的两个输入端的至少一个是可变的。这种电路实际上与开关和整流网络相同(有向无环图,其中的某些边缘用变量标记;每个st路径给出其标记的乘积,输出是所有st路径的总和)。早在40年前,马尔可夫就证明了一个令人吃惊的严格结果:S n k的最小单调算术偏斜电路恰好具有k (n - k + 1 )个乘积门。的上界如下从图1: (+,×)(+,×)(+,\times)SnkSknS_k^n k(n−k+1)k(n−k+1)k(n-k+1) 但是我没有看到任何尝试证明非偏斜电路的下限。这仅仅是我们的“自大”,还是一路上观察到一些固有的困难? PS我知道门对同时计算所有S n 1,… ,S n n是必要的。这是从对0-1输入进行排序的单调布尔电路的大小的下限开始的;请参阅Ingo Wegener的书的第158页。所述AKS排序网络也意味着ø (Ñ 登录Ñ )门在此(布尔值)的情况下就足够了。实际上,鲍尔(Baur)和斯特拉森(Strassen)已经证明了紧约束Θ (n log nΩ(nlogn)Ω(nlog⁡n)\Omega(n\log n)Sn1,…,SnnS1n,…,SnnS_1^n,\ldots,S_n^nO(nlogn)O(nlog⁡n)O(n\log n)Θ(nlogn)Θ(nlog⁡n)\Theta(n\log n)S n n / 2的非单调算术电路的大小。但是单调算术电路呢?Snn/2Sn/2nS_{n/2}^n


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函数的eta等效性是否可以与Haskell的seq操作兼容?
引理:假设等式我们有(\x -> ⊥) = ⊥ :: A -> B。 证明:⊥ = (\x -> ⊥ x)通过η等价,并(\x -> ⊥ x) = (\x -> ⊥)通过λ下的减少。 Haskell 2010报告第6.2节seq通过两个方程式指定了该函数: 序列:: a-> b-> b seq⊥b =⊥ seq ab = b,如果a≠⊥ 然后声明“因此,⊥与\ x-> not不同,因为seq可用于区分它们。” 我的问题是,这真的是定义的结果seq吗? 隐含的说法似乎是seq将不可计算如果seq (\x -> ⊥) b = ⊥。但是我还不能证明这样的seq说法是没有争议的。在我看来,seq这既是单调的,又是连续的,这使它处于可计算的领域。 诸如seq之类的算法可能会通过枚举以starting开头的域来尝试搜索某些x位置f x ≠ ⊥而工作f。尽管这样的实现,即使有可能,一旦我们想要使seq多态成为现实,也会变得非常麻烦。 是否有证据证明不存在可计算seq的是标识(\x …

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机器表征
是一类决策问题,可通过具有无穷范宁OR和有穷范宁AND门的 O (log i n)深度电路族解决。取反仅在输入级别允许。已知的是,小号甲Ç 我为我≥ 1是根据补体和封闭小号甲Ç 0是没有的。此外,由于LogCFL, S A C 1 = L o g C F L并因此具有机器特征。S一种C一世SAC一世SAC^iO (对数一世n)O(日志一世ñ)O({\log}^i{n})小号A C一世小号一种C一世SAC^i我≥ 1一世≥1个i \geq 1小号A C0小号一种C0SAC^0SAC1=LogCFLSAC1=LogCFLSAC^1 = LogCFL是空间有界和多项式有时间限制的辅助PDA 接受的语言集。是否有类似的机器刻画小号一Ç 我为我≥ 2?O(logn)O(logn)O({\log}n)SACiSACiSAC^ii≥2i≥2i \geq 2

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有界树宽电路有哪些优点?
可以说布尔电路的树宽,将其定义为按以下方式获得的导线(顶点)上的“道德化”图的树宽:按以下方式连接导线一种aa和bbb只要bbb是具有一种aa作为输入的门的输出(或反之亦然); 只要将导线一种aa和bbb用作同一门的输入,就应将它们连接起来。编辑:可以等效地将电路的树宽定义为代表它的图形的树宽;如果我们使用关联性重新组合所有AND和OR门最多具有两个扇入,则根据任一定义的树宽最多相同为333。 至少有一个通常不易解决的问题,但对于有树宽度的布尔电路来说却是易解决的:给定每条输入线设置为0或1(独立于其他输入线)的概率,计算出某个输出门是0或1。这通常是#P-hard,通过减少例如#2SAT来实现,但是可以在PTIME中使用结点树算法在树宽假定小于常数的电路上解决。 我的问题是要知道是否存在除概率计算之外的其他问题,这些问题通常很难解决,但对于有边界树宽的电路却是易处理的,或者其复杂度可以描述为电路大小及其树宽的函数。我的问题并非仅针对布尔型情况;我对其他半环上的算术电路也很感兴趣。你有没有看到这样的问题?

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关于无限半环的阿德曼定理?
阿德勒曼已示于1978年:如果布尔函数˚F的Ñ变量可由大小的概率布尔电路来计算中号,然后˚F也可以通过尺寸的确定性布尔电路计算M和n的多项式; 实际上,大小为O (n M )。 BPP⊆P/polyBPP⊆P/poly\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}fffnnnMMMfffMMMnnnO(nM)O(nM)O(nM) 一般问题:在什么其他的(不是布尔)半环确实持有? BPP⊆P/polyBPP⊆P/poly\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly} 要多的位特异性的,一个概率电路 在半环(小号,+ ,⋅ ,0 ,1 )使用其“增加” (+ )和“乘法‘’ (⋅ )操作作为栅极。输入是输入变量X 1,... ,X ñ以及可能的附加随机变量,它采用的数值的一些数量的0和1 独立地以概率1 / 2 ;在这里CC\mathsf{C}(S,+,⋅,0,1)(S,+,⋅,0,1)(S,+,\cdot,0,1)(+)(+)(+)(⋅)(⋅)(\cdot)x1,…,xnx1,…,xnx_1,\ldots,x_n0001111/21/21/2 和 1分别是半环的加法和乘法身份。这样的电路 Ç计算给定功能的 ˚F :小号Ñ → 小号如果对于每个 X ∈ 小号Ñ, P [R [ Ç(X )= ˚F (X )] ≥ 2 / 3。 000111CC\mathsf{C} …

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算术电路比布尔弱吗?
设表示计算给定的多项式多项式的(非单调)算术电路 的最小大小 并且表示计算布尔版本的(非单调)布尔电路的最小大小的由下式定义: (+ ,× ,- )˚F (X 1,... ,X Ñ)= Σ Ë ∈ Ê Ç Ë Ñ Π我= 1 X Ë 我我A(f)A(f)A(f)(+,×,−)(+,×,−)(+,\times,-)乙(˚F )(∨ ,∧ ,¬ )˚F b ˚F ˚F b(X 1,... ,X Ñ)= ⋁ Ë ∈ Ê ⋀ 我:ë 我 ≠ 0 X 我F(x1个,… ,xñ)= ∑Ë ∈ ËCË∏我= 1ñXË一世一世,f(x1,…,xn)=∑e∈Ece∏i=1nxiei, …

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