关于无限半环的阿德曼定理？

阿德勒曼已示于1978年：如果布尔函数的变量可由大小的概率布尔电路来计算，然后也可以通过尺寸的确定性布尔电路计算和多项式; 实际上，大小为。 $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$ $f$ $n$ $M$ $f$ $M$ $n$ $O(nM)$

一般问题：在什么其他的（不是布尔）半环确实持有？ $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

要多的位特异性的，一个概率电路在半环使用其“增加” 和“乘法‘’ 操作作为栅极。输入是输入变量以及可能的附加随机变量，它采用的数值的一些数量的和独立地以概率 ;在这里 $\mathsf{C}$ $(S,+,\cdot,0,1)$ $(+)$ $(\cdot)$ $x_1,\ldots,x_n$ $0$ $1$ $1/2$ 和分别是半环的加法和乘法身份。这样的电路计算给定功能的如果对于每个，。 $0$ $1$ $\mathsf{C}$ $f:S^n\to S$ $x\in S^n$ $\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x)=f(x)]\geq 2/3$

的投票功能 的变量是一个局部函数，其值是如果元素出现多于的间倍，和是未定义，如果不存在此类元素。切尔诺夫边界和联合边界的简单应用将产生以下结果。 $\mathrm{Maj}(y_1,\ldots,y_m)$ $m$ $y$ $y$ $m/2$ $y_1,\ldots,y_m$ $y$

多数诀窍：如果一个概率电路计算一个函数上的有限集合，则有的实现的使得 $\mathsf{C}$ $f:S^n\to S$ $X\subseteq S^n$ $m=O(\log|X|)$ $C_1,\ldots,C_m$ $\mathsf{C}$ 适用于所有。 $f(x)=\mathrm{Maj}(C_1(x),\ldots,C_m(x))$ $x\in X$

在布尔半环上，表决函数是多数函数，并且电路较小（甚至是单调）。所以，Adleman的定理如下通过拍摄。 $\mathrm{Maj}$ $X=\{0,1\}^n$

但是其他（尤其是无限的）半环呢？怎么样的算术半环（与通常加法和乘法）？ $(\mathbb{N},+,\cdot,0,1)$

问题1：是否保持在算术半环？ $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

尽管我打赌“是”，但我无法证明这一点。

备注：我知道这个的纸张，其中作者声称在真实字段。它们处理非单调算术电路，并且（在定理4中）到达以表决函数为输出门的电路。但是，如何通过算术电路（无论是否单调）来模拟该？即如何获得他们的推论3？ $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$ $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$ $\mathrm{Maj}$ $\mathrm{Maj}$

实际上，由莫斯科大学的谢尔盖·加什科夫（Sergey Gashkov）告诉我的以下简单论点似乎表明，这是不可能的（至少对于仅能够计算多项式的电路而言）。假设我们可以将为多项式。然后 $\mathrm{Maj}(x,y,z)$ $f(x,y,z)=ax+by+cz+ h(x,y,z)$ 表示，表示，表示。这是因为，在零特性的字段上，多项式函数相等意味着系数相等。请注意，在问题1中，概率电路的范围以及的域 $f(x,x,z)=x$ $c=0$ $f(x,y,x)=x$ $b=0$ $f(x,y,y)=y$ $a=0$ 是无限的。因此，我的印象是仅与运算电路计算功能所链接的纸优惠与小的有限范围，像。那么，实际上很容易通过算术电路计算。但是，如果怎么办？ $\mathrm{Maj}$ $f:\mathbb{R}^n\to Y$ $Y$ $Y=\{0,1\}$ $\mathrm{Maj}:Y^m\to Y$ $Y=\mathbb{R}$

校正 [6.03.2017]：Pascal Koiran（本文的作者之一）向我指出，他们的模型比算术电路更强大：它们允许符号门（根据输入是负数还是负数输出

或

不）。因此，可以在此模型中模拟投票功能Maj ，然后收回我的“困惑”。

0

$0$

1

$1$

在动态编程的上下文中，特别感兴趣的是对于同样的问题热带分钟加和max-加半环和。 $(\mathbb{N}\cup\{+\infty\}, \min, +, +\infty,0)$ $(\mathbb{N}\cup\{-\infty\}, \max, +, -\infty,0)$

问题2：不缓缴热带半环？ $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

在这两个半环中持有，这意味着随机性无法加速所谓的“纯”动态编程算法！这些算法在其递归中仅使用Min / Max和Sum运算。Bellman-Ford，Floyd-Warshall，Held-Karp和许多其他著名的DP算法都是纯净的。 $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

到目前为止，我只能回答问题2（肯定）下单侧误差的情况下，当我们另外需要在MIN-加半环（最小化），或在最大加半环（最大化）上。也就是说，我们现在要求随机热带回路永远不能产生比最佳值更好的值。但是，如果给出一些比最佳值差的值，它可能会出错。但是，我的问题是在双向错误情况下。 $\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x) < f(x)]=0$ $\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x) > f(x)]=0$

PS [添加2017年2月27日]：这是我对问题1的回答（肯定）。这个想法是将“组合Nullstellensatz”的最简单版本与对n分量超抓紧的Zarankiewicz问题的估计结合起来，这是由于鄂尔多斯和斯宾塞造成的。对后一个结果取模，整个参数是基本的。

请注意，问题2仍然没有解决：“天真Nullstellensatz”（至少以我使用的形式）在热带半环中不成立。

— Stasys
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nit：BPP是使用PTM而不是电路定义的统一类。

— 卡夫

@Kaveh：是的，从这个意义上说，阿德曼的结果甚至更强一点，甚至对于BPP / poly来说也是如此。

— Stasys'2

没有看到简单的参数如何显示不可能...它似乎表明x，y和z单项式的系数必须为零...我缺少什么？另外，如果多项式不能计算Maj，您还可以如何表示半环上的计算？（除了半环上的多项式以外，还有什么？）直观地，在一个无限域上，某个y的每个约束（强制在> m / 2 y上必须输出y）似乎与其他y是“独立的”（没有约束子集意味着另一个），因此似乎没有“有限”多项式可以满足无限多个独立约束。

— 瑞安·威廉姆斯

@Ryan：是的，这仅显示f = Maj暗示h = Maj。但是h的度数> 1，因此h（x，x，z）= x是不可能的。您是对的：半环上的电路无法将其他任何东西计算为多项式。因此，他们无法计算Maj，但是该论文的作者处理了{+，x，-，/}电路，并允许所有现场运算。也许那时Maj仍然可以通过某种方式计算出来？（不过，我不知道怎么做。）顺便说一句，不是试图模拟Maj本身，而是可以通过显示一个Maj门不能显着减小电路尺寸来回答Q1和Q2（这很合理）。

— Stasys

@Ryan：PS Igor Sergeev观察到Maj“可能”可以通过（R，+，x，-，/）计算。例如，对于| {x，y，z} | = 2的所有输入，可以通过f（x，y，z）=（xy + xz-2yz）/（2x-yz）计算Maj（x，y，z）。注意，上面的简单参数暗示，已经在这样的输入上，这不能在（R，+，x，-）上完成。因此，部门可以提供帮助。但是我们面临着0除法的问题……

— Stasys

这只是对您的一般问题的部分答案（我不确定是什么完全一般的表述），但它表明在足够好的无限半环上工作，同时将随机性限制在有限域上，实际上可能使问题变得微不足道。阿德曼定理成立。

$\mathbb{C}$ $f$ $x$ $r$ $C(x,r) = f(x)$ $r$ $x$ $C(x,r) = f(x)$ $\mathbb{C}^n$ $\mathbb{C}^n$ $r$ $x$ $\exists r : C(x,r) = f(x)$ $C$ $f$ $\mathbb{C}^n$

— 安德鲁·摩根
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有趣。更一般地，大小为M的概率电路是一些随机变量C，它的值在最多具有M个门的所有电路（该类型）的集合中取。[顺便说一句，库克的论文。允许C任意分配。我可以从您的论断中得出结论，如果C的范围是有限的，那么当Zarinski闭子集是微不足道的（集本身）或零度量时，阿德曼定理是微不足道的？我们这种“全有还是全无”对热带半环的影响吗？（我主要对它们感兴趣。）

— Stasys

C^{n}

$\mathbb{C}^n$